Question

某廠借嫦娥奔月的東風(fēng)，推出品牌為“玉兔”的新產(chǎn)品，生產(chǎn)“玉兔”的固定成本為20000元，每生產(chǎn)意見(jiàn)“玉兔”需要增加投入100元，根據(jù)初步測(cè)算，總收益（單位：元）滿(mǎn)足分段函數(shù)φ（x），其中φ（x）=

400x- 1 2 x2，0＜x≤400 80000，x＞400

，x是“玉兔”的月產(chǎn)量（單位：件），總收益=成本+利潤(rùn)
（1）試將利用y元表示為月產(chǎn)量x的函數(shù)；
（2）當(dāng)月產(chǎn)量x為多少件時(shí)利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類(lèi)型

專(zhuān)題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）依題設(shè)總成本為20000+100x，從而由分段函數(shù)寫(xiě)出y=

- 1 2 x2+300x-20000，0＜x≤400，且x∈N 60000-100x，x＞400，且x∈N

；
（Ⅱ）當(dāng)＜x≤400時(shí)，y=-

1

2

（x-300）²+25000，則當(dāng)x=300時(shí)，y_max=25000；當(dāng)x＞400時(shí)，y＜60000-100×400=20000，從而求最值．

解答： 解：（Ⅰ）依題設(shè)，總成本為20000+100x，
則y=

- 1 2 x2+300x-20000，0＜x≤400，且x∈N 60000-100x，x＞400，且x∈N

；
（Ⅱ）當(dāng)＜x≤400時(shí)，y=-

1

2

（x-300）²+25000，
則當(dāng)x=300時(shí)，y_max=25000；
當(dāng)x＞400時(shí)，y=60000-100x是減函數(shù)，
則y＜60000-100×400=20000，
所以，當(dāng)x=300時(shí)，有最大利潤(rùn)25000元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，屬于中檔題．