Question

如圖，S-ABC是正三棱錐且側(cè)棱長為a，E，F(xiàn)分別是SA，SC上的動(dòng)點(diǎn)，三角形BEF的周長的最小值為，則側(cè)棱SA，SC的夾角為

1. A.
   30°
2. B.
   60°
3. C.
   20°
4. D.
   90°

Answer 1

A
分析：由題意，三角形BEF的周長的最小值為，即沿多面體表面從B到B經(jīng)過的長度的最小值為，可將此幾何體沿SB剪開，變多面體表面上的軌跡長度問題為平面上的兩點(diǎn)間距離問題，展開后得到等腰三角形SBB'，可求得此時(shí)∠BSB'=90°，再由正三棱錐的性質(zhì)得SA，SC的夾角為30°，選出正確選項(xiàng)
解答：把正三棱錐沿SB剪開，并展開，形成三個(gè)全等的等腰三角形，△SBC、△SCA、△SAB'，
連接BB'，交SC于F，交SA于E，則線段BB′就是△BEF的最小周長，BB'=a，
又SB=SB'=a，根據(jù)勾股定理，SB²+SB'²=BB'²=2a²，
△SBB'是等腰直角三角形，
∴∠BSB'=90°，
∴∠ASC=90°×=30°，
∴側(cè)棱SA，SC的夾角為30°
故選A
點(diǎn)評：本題考查了多面體表面上的距離問題及線線夾角求法問題，解題的關(guān)鍵是將多面體展開，將多面體表面上的軌跡長度問題變化為平面上的兩點(diǎn)間距離問題研究，這里用到了幾何中常用的降維的技巧，化體為面是一個(gè)重要的技巧．本題易因?yàn)闆]有把立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題研究而導(dǎo)致無法求解．