Question

如圖，S-ABC是正三棱錐且側(cè)棱長(zhǎng)為a，E，F(xiàn)分別是SA，SC上的動(dòng)點(diǎn)，三角形BEF的周長(zhǎng)的最小值為

2

a，則側(cè)棱SA，SC的夾角為（　　）

A．30°

B．60°

C．20°

D．90°

Answer 1

分析：由題意，三角形BEF的周長(zhǎng)的最小值為

2

a，即沿多面體表面從B到B經(jīng)過(guò)的長(zhǎng)度的最小值為

2

a，可將此幾何體沿SB剪開(kāi)，變多面體表面上的軌跡長(zhǎng)度問(wèn)題為平面上的兩點(diǎn)間距離問(wèn)題，展開(kāi)后得到等腰三角形SBB'，可求得此時(shí)∠BSB'=90°，再由正三棱錐的性質(zhì)得SA，SC的夾角為30°，選出正確選項(xiàng)

解答：解：把正三棱錐沿SB剪開(kāi)，并展開(kāi)，形成三個(gè)全等的等腰三角形，△SBC、△SCA、△SAB'，
連接BB'，交SC于F，交SA于E，則線段BB′就是△BEF的最小周長(zhǎng)，BB'=

2

a，
又SB=SB'=a，根據(jù)勾股定理，SB²+SB'²=BB'²=2a²，
△SBB'是等腰直角三角形，
∴∠BSB'=90°，
∴∠ASC=90°×

1

3

=30°，
∴側(cè)棱SA，SC的夾角為30°
故選A

點(diǎn)評(píng)：本題考查了多面體表面上的距離問(wèn)題及線線夾角求法問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是將多面體展開(kāi)，將多面體表面上的軌跡長(zhǎng)度問(wèn)題變化為平面上的兩點(diǎn)間距離問(wèn)題研究，這里用到了幾何中常用的降維的技巧，化體為面是一個(gè)重要的技巧．本題易因?yàn)闆](méi)有把立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題研究而導(dǎo)致無(wú)法求解．