Question

如圖，S-ABC是正三棱錐且側(cè)棱長為a，兩側(cè)棱SA，SC的夾角為30°，E，F(xiàn)分別是SA，SC上的動點(diǎn)，則三角形BEF的周長的最小值為（　�。�

• A．

  2

  a
• B．

  3

  a
• C．

  5

  a
• D．

  6

  a

Answer 1

分析：把正三棱錐沿SB剪開，并展開，形成三個全等的等腰三角形：△SBC、△SCA、△SAB′，連接BB′，交SC于F，交SA于E，則線段BB′就是△BEF的最小周長，易判斷△B′SB為等腰直角三角形，由勾股定理可求BB′．

解答：解：把正三棱錐沿SB剪開，并展開，形成三個全等的等腰三角形：△SBC、△SCA、△SAB′，
則∠B′SA=∠BSC=∠ASC=30°，
連接BB′，交SC于F，交SA于E，則線段BB′就是△BEF的最小周長，
又SB=SB′=a，根據(jù)勾股定理，SB²+SB′²=BB′²=2a²，
所以BB′=

2

a，
故選A．

點(diǎn)評：本題考查了多面體表面上的距離問題及線線夾角求法問題，解題的關(guān)鍵是將多面體展開，將多面體表面上的軌跡長度問題變化為平面上的兩點(diǎn)間距離問題研究，這里用到了幾何中常用的降維的技巧，化體為面是一個重要的技巧．本題易因?yàn)闆]有把立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題研究而導(dǎo)致無法求解