Question

【題目】如圖,直棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中,CA=CB=1,∠ACB=90°,棱AA1=2,如圖,以C為原點(diǎn),分別以CA,CB,CC1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

(1)求平面A1B1C的法向量;

(2)求直線AC與平面A1B1C夾角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）v=(x0,y0,z0)為平面A1B1C的法向量,則v·=x0+2z0=0,v· =y0+2z0=0,解方程組即得平面A1B1C的法向量.(2)利用向量法求直線AC與平面A1B1C夾角的正弦值.

(1)由題意可知C(0,0,0),A1(1,0,2),B1(0,1,2),故=(1,0,2),=(0,1,2),

設(shè)v=(x0,y0,z0)為平面A1B1C的法向量,則

v·=(x0,y0,z0)(1,0,2)=x0+2z0=0,

v·=(x0,y0,z0)(0,1,2)=y0+2z0=0,

即令z0=1,則v=(-2,-2,1).

(2)設(shè)直線AC與平面A1B1C夾角為θ,而=(1,0,0),

所以直線AC與平面A1B1C夾角的正弦值sinθ

=.