Question

定義：若各項(xiàng)為正實(shí)數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=

an

(n∈N*)，則稱數(shù)列{a_n}為“算術(shù)平方根遞推數(shù)列”．已知數(shù)列{x_n}滿足x_n＞0，n∈N^*，且x₁=

9

2

，點(diǎn)（x_n+1，x_n）在二次函數(shù)f（x）=2x²+2x的圖象上．
（1）試判斷數(shù)列{2x_n+1}（n∈N^*）是否為算術(shù)平方根遞推數(shù)列？若是，請(qǐng)說(shuō)明你的理由；
（2）記y_n=lg（2x_n+1）（n∈N^*），求證：數(shù)列{y_n}是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式y(tǒng)_n；
（3）從數(shù)列{y_n}中依據(jù)某種順序自左至右取出其中的項(xiàng)y_n1，y_n2，y_n3，…，把這些項(xiàng)重新組成一個(gè)新數(shù)列{z_n}：z₁=y_n1，z₂=y_n2，z₃=y_n3，…．
（理科）若數(shù)列{z_n}是首項(xiàng)為z1=(

1

2

)m-1、公比為q=

1

2k

(m，k∈N*)的無(wú)窮等比數(shù)列，且數(shù)列{z_n}各項(xiàng)的和為

16

63

，求正整數(shù)k、m的值．
（文科） 若數(shù)列{z_n}是首項(xiàng)為z1=(

1

2

)m-1，公比為q=

1

2k

(m，k∈N*)的無(wú)窮等比數(shù)列，且數(shù)列{z_n}各項(xiàng)的和為

1

3

，求正整數(shù)k、m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì),二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）數(shù)列{2x_n+1}（n∈N^*）是否為算術(shù)平方根遞推數(shù)列，利用點(diǎn)（x_n+1，x_n）在二次函數(shù)f（x）=2x²+2x的圖象上，可得x_n=2x_n+1²+2x_n+1，即可證明2x_n+1+1=

2xn+1

，從而數(shù)列{2x_n+1}（n∈N^*）是否為算術(shù)平方根遞推數(shù)列；
（2）由y_n=lg（2x_n+1），2x_n+1+1=

2xn+1

，可得y_n+1=

1

2

y_n，即可證明∴數(shù)列{y_n}是首項(xiàng)為1，公比為

1

2

等比數(shù)列，從而求出通項(xiàng)公式y(tǒng)_n；
（3）理：由題意可得數(shù)列{z_n}的首項(xiàng)為

1

2m-1

，公比為

1

2k

，可得

16

2k

+

63

2m-1

=16，再分類討論，可得正整數(shù)k、m的值；
文：由題意可得數(shù)列{z_n}的首項(xiàng)為

1

2m-1

，公比為

1

2k

，可得

1

2k

+

3

2m-1

=1，再分類討論，可得正整數(shù)k、m的值．

解答： 解：（1）數(shù)列{2x_n+1}（n∈N^*）是否為算術(shù)平方根遞推數(shù)列，證明如下：
∵點(diǎn)（x_n+1，x_n）在二次函數(shù)f（x）=2x²+2x的圖象上，
∴x_n=2x_n+1²+2x_n+1，
∴2x_n+1=（2x_n+1+1）²，
∵x_n＞0，n∈N^*，
∴2x_n+1+1=

2xn+1

，
∴數(shù)列{2x_n+1}（n∈N^*）是否為算術(shù)平方根遞推數(shù)列；
（2）∵y_n=lg（2x_n+1），2x_n+1+1=

2xn+1

，
∴y_n+1=

1

2

y_n，
∵y₁=lg（2x₁+1）=1，
∴數(shù)列{y_n}是首項(xiàng)為1，公比為

1

2

等比數(shù)列，
∴通項(xiàng)公式y(tǒng)_n=(

1

2

)n-1
（3）理：由題意可得數(shù)列{z_n}的首項(xiàng)為

1

2m-1

，公比為

1

2k

，
∴

1 2m-1

1- 1 2k

=

16

63

，
∴

16

2k

+

63

2m-1

=16，
若m-1≥3，則

16

2k

+

63

2m-1

≤

16

2k

+

63

8

＜

16

2

+

63

8

＜16，矛盾，
∴m-1≤2，
∵m-1=0或1時(shí)，

16

2k

+

63

2m-1

＞16，
∴m-1=2，
∴m=3，
∴k=6；
（文）：由題意可得數(shù)列{z_n}的首項(xiàng)為

1

2m-1

，公比為

1

2k

，
∴

1 2m-1

1- 1 2k

=

1

3

，
∴

1

2k

+

3

2m-1

=1，
若m-1≥3，則

1

2k

+

3

2m-1

≤

1

2k

+

3

8

＜

1

2

+

3

8

＜1，矛盾，
∴m-1≤2，
∵m-1=0或1時(shí)，

1

2k

+

3

2m-1

＞1，
∴m-1=2，
∴m=3，
∴k=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．