【題目】已知函數(shù)f(x)=xm﹣ ,且f(3)= .
(1)求函數(shù)f(x)的解析式,并判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.
(2)證明函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性.
【答案】
(1)解:由f(3)= ,可知m=1,
所以函數(shù)的解析式為f(x)=x﹣
又因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋ī仭蓿?)∪(0,+∞),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
且f(﹣x)=(﹣x)﹣(﹣ )=﹣(x﹣ )=﹣f(x),由函數(shù)奇偶性定義可知,
函數(shù)f(x)=x﹣ 為奇函數(shù)
(2)證明:設(shè)x1,x2是區(qū)間(0,+∞)上任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且x1<x2,
f(x1)﹣f(x2)=(x1﹣ )﹣(x2﹣ )=(x1﹣x2)(1+ ),
因?yàn)?<x1<x2,所以x1﹣x2<0,1+ >0,
所以f(x1)<f(x2).
所以函數(shù)f(x)=x﹣ 在區(qū)間(0,+∞)是單調(diào)遞增函數(shù)
【解析】(1)代入法求出m的值,求出f(x)的解析式,根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷即可;(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的奇偶性,掌握單調(diào)性的判定法:①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大;③作差比較或作商比較;偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=(ax﹣1)(x﹣1).
(1)若不等式f(x)<0的解集為{x|1<x<2},求實(shí)數(shù)a的值;
(2)當(dāng)a>0時(shí),解關(guān)于x的不等式f(x)<0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , n∈N* , 已知a1=1,a2= ,a3= ,且當(dāng)n≥2時(shí),4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1 .
(1)求a4的值.
(2)證明:{an﹣1﹣ an}為等比數(shù)列;
(3)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與市場(chǎng)預(yù)測(cè),A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比,其關(guān)系如圖(1);B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比,其關(guān)系如圖(2)(注:所示圖中的橫坐標(biāo)表示投資金額,單位為萬元)
(1)分別求出A,B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù)關(guān)系式;
(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金,并全部投入A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),問:怎樣分配這10萬元資金,才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f(x)滿足:對(duì)x∈D,M∈R,使得|f(x)|≤M恒成立,則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上有界.則下列函數(shù)中有界的是: .
①y=sinx;② ;③y=tanx;④ ;
⑤y=x3+ax2+bx+1(﹣4≤x≤4),其中a,b∈R.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】極坐標(biāo)與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程是(為參數(shù)).在以為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系中,曲線: .
(1)當(dāng), 時(shí),判斷直線與曲線的位置關(guān)系;
(2)當(dāng)時(shí),若直線與曲線相交于, 兩點(diǎn),設(shè),且,求直線的傾斜角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列四組函數(shù)中,表示相等函數(shù)的一組是( )
A.f(x)=|x|,
B. ,
C. ,g(x)=x+1
D. ,
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