Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若在存在最小值，求的取值范圍；

（Ⅱ）當時，證明： .

Answer 1

【答案】（1）在上無最小值.（2）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）對函數(shù) 求導，分情況討論單調性，當有最小值時，求出實數(shù)的范圍；（Ⅱ）本題分兩部分證明，先證明 ，由（Ⅰ）的討論容易得到，再證明 ，這是構造函數(shù) ，求導得出函數(shù)在上為增函數(shù)，所以 ，就可證明，結合和，便可得出結論.

試題解析（Ⅰ）解： ，

令，解得： 或.

（1）當時，即，由知， ，

故在上單調遞增，從而在上無最小值.

（2）當時，又，故，

當時， ，當時， ，

從而在上單調遞減，在上單調遞增，

從而在處取得最小值，所以時， 存在最小值.

綜上所述： 在存在最小值時， 的取值范圍為.

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知， 時， 在上單調遞增；

于是時， ，即時， .①

下證： ，

令，則，故，

由于，所以，從而在上單調遞增，

于是，從而在上單調遞增，

故，所以，②

由于，所以①②可得： ，

即： .