Question

【題目】已知函數(shù).

(1)討論的單調(diào)性；

(2)當(dāng)時，設(shè)的兩個極值點(diǎn)為，，證明:.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）證明見解析。

【解析】

（1）利用導(dǎo)函數(shù)分子的判別式分情況討論，即可，注意參數(shù)時，函數(shù)圖像開口也會發(fā)生相應(yīng)的變化。（2）利用對數(shù)平均不等式，證明即可。

解：（1），，

對于一元二次方程， ，

①當(dāng)時，即時，無解或一個解，

有時，，此時 在上單調(diào)遞增，

②當(dāng)時，即時，有兩個解，

其解為， 當(dāng)時，，故在 及時，；且時，，即在及上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，一個實(shí)根小于0，一個實(shí)根大于0，所以在時，，在，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。

綜上所述：即時， 在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，即在及上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。

（2）當(dāng)時，，，又因?yàn)?/span>的兩個極值點(diǎn)為，，則，是方程的兩實(shí)數(shù)根，設(shè)。

又因?yàn)?/span>，故要證，

只需證，

只需證，

只需證，

下面證明不等式，不妨設(shè)，要證，即證，即證，令，設(shè)，則，所以，函數(shù)在上遞減，而，因此當(dāng) 時，恒成立，即成立，即成立，

所以，得證。