Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為， .

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）令，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求；

（3）令，若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ; (2) ;(3)

【解析】試題分析：(1) 當(dāng)時(shí)，利用公式；，可得，驗(yàn)證當(dāng)時(shí)是否適合即可；（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法求和即可（3）討論當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)兩種情況，分別利用等差數(shù)列求和公式求和，然后利用放縮法可證明結(jié)論.

試題解析：(I)當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)， ，適合上式，

（）.

(II) ，則，

，

-得

，

.

.

(III) ,

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， ，

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， ，

綜上所述，

【 方法點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式以及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的的前 項(xiàng)和，屬于中檔題.一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列， 是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)，可采用“錯(cuò)位相減法”求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解, 在寫(xiě)出“”與“” 的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“”的表達(dá)式.