【題目】已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（Ⅰ）證明：當(dāng)時(shí)，方程在區(qū)間上只有一個(gè)解；

（Ⅱ）設(shè)，其中.若恒成立，求的取值范圍.

【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析（Ⅱ）

【解析】

（1）設(shè)，，求出，判斷函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，由，，利用零點(diǎn)存在性定理即可證出.

（2）設(shè)，，求出，由（1）不妨的零點(diǎn)為，從而可判斷在區(qū)間上單調(diào)情況，進(jìn)而可得出函數(shù)的最小值為，由，得，代入可得，由即可求解.

（Ⅰ）設(shè)，.

，當(dāng)時(shí)，，

因此函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.

且，.

所以在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)，

方程在區(qū)間上只有一個(gè)解.

（Ⅱ）設(shè)，，定義域?yàn)?/span>，

，

令，則，

由（Ⅰ）知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且只有一個(gè)零點(diǎn)，

不妨設(shè)的零點(diǎn)為，則，

所以，與在區(qū)間上的情況如下：

-

0

+

所以，函數(shù)的最小值為，，

由，得，所以.

依題意，即，解得.所以，的取值范圍為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)，直線與曲線交于兩點(diǎn)，求的值.

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【題目】2013年華人數(shù)學(xué)家張益唐證明了孿生素?cái)?shù)猜想的一個(gè)弱化形式，此事引起了國(guó)際數(shù)學(xué)界的轟動(dòng)許多專(zhuān)家認(rèn)為這是數(shù)論研究中的一項(xiàng)重大突破世界主流媒體都對(duì)這項(xiàng)重要成果作了報(bào)道并給予了高度評(píng)價(jià)，印度媒體甚至稱(chēng)贊張益唐為“中國(guó)的拉馬努金”.孿生素?cái)?shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個(gè)問(wèn)題之一，可以這樣描述：存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)，使得是素?cái)?shù)，素?cái)?shù)對(duì)稱(chēng)為孿生素?cái)?shù).在不超過(guò)20的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其中能夠組成孿生素?cái)?shù)的概率是（ ）

A.B.C.D.

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【題目】微博橙子輔導(dǎo)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法抽取了100名同學(xué)，對(duì)其社會(huì)實(shí)踐次數(shù)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下：

若將社會(huì)實(shí)踐次數(shù)不低于12次的學(xué)生稱(chēng)為“社會(huì)實(shí)踐標(biāo)兵”.

（1）將頻率視為概率，估計(jì)該校1600名學(xué)生中“社會(huì)實(shí)踐標(biāo)兵”有多少人？

（2）從已抽取的8名“社會(huì)實(shí)踐標(biāo)兵”中隨機(jī)抽取4位同學(xué)參加社會(huì)實(shí)踐表彰活動(dòng).

（�。┰O(shè)A為事件"抽取的4位同學(xué)中既有男同學(xué)又有女同學(xué)”，求事件A發(fā)生的概率；

（ⅱ）用X表示抽取的“社會(huì)實(shí)踐標(biāo)兵”中男生的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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【題目】已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的2倍，且過(guò)點(diǎn)．

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，F為橢圓C的右焦點(diǎn)，A、B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)滿足．

①證明：為定值；

②設(shè)Q是直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線AQ、BQ分別另交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，求的最小值．

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【題目】已知橢圓 的離心率為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成的三角形面積為.

(I)求橢圓的方程;

(II)設(shè)與圓相切的直線交橢圓于,兩點(diǎn)(為坐標(biāo)原點(diǎn))，的最大值.

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【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．

（1）把曲線和直線化為直角坐標(biāo)方程；

（2）過(guò)原點(diǎn)引一條射線分別交曲線和直線于，兩點(diǎn)，射線上另有一點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡方程（寫(xiě)成直角坐標(biāo)形式的普通方程）．

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，0）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．

(Ⅰ)寫(xiě)出曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(Ⅱ)若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且AB的長(zhǎng)度為2，求直線l的普通方程．

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【題目】2020年，新型冠狀病毒引發(fā)的疫情牽動(dòng)著億萬(wàn)人的心，八方馳援戰(zhàn)疫情，眾志成城克時(shí)難，社會(huì)各界支援湖北共抗新型冠狀病毒肺炎，重慶某醫(yī)院派出3名醫(yī)生，2名護(hù)士支援湖北，現(xiàn)從這5人中任選2人定點(diǎn)支援湖北某醫(yī)院，則恰有1名醫(yī)生和1名護(hù)士被選中的概率為（ ）

A.0.7B.0.4C.0.6D.0.3

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