Question

如圖，已知四棱錐中，底面為菱形，平面，，分別是的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；
（2）取，若為上的動(dòng)點(diǎn)，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值。

Answer 1

（1）詳見解析；（2）

試題分析：（1）用線面垂直證，用等腰三角形中線即為高線證即，根據(jù)線面垂直得判定定理即可得證。（2）由（1）知平面，則為與平面所成的角。因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034919484410.png" style="vertical-align:middle;" />為定值，所以最短即最短時(shí)角的正弦值最大。故此時(shí)。故此可推導(dǎo)出的值，過作于，則平面，過作于，連接，則為二面角的平面角。也可采用空間向量法。
試題解析：解：方法一：（1）證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034919593318.png" style="vertical-align:middle;" />為的中點(diǎn)，
所以                                1分
又，因此                       2分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034919000394.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，
所以                         3分
而平面，平面，
所以平面  .              5分
（2）為上任意一點(diǎn)，連接由（1）知平面，則為與平面所成的角                    6分
在中，，
所以當(dāng)最短時(shí)，即當(dāng)時(shí)，最大 .              7分
此時(shí)，     因此
又，所以，
所以               8分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034919000394.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，
所以平面平面
過作于，則平面，
過作于，連接，則為二面角的平面角，  10分
在中， 
又是的中點(diǎn)，在中，
又               11分
在中，
即所求二面角的余弦值為。                                  13分
第二問：方法二
（2）由（1）可知兩兩垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。 
設(shè),則
（其中）                                6分

面的法向量為

與平面所成最大角的正切值為               7分
的最大值為，
即在的最小值為，
函數(shù)對(duì)稱軸，
所以，計(jì)算可得                  9分
所以
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則
因此，取，則             11分
為平面的一個(gè)法向量.                      12分
所以
所以，所求二面角的余弦值為                               13分