Question

【題目】如圖，銳角的三邊互不相等，其垂心為，是邊的中點(diǎn)，直線(xiàn)，的外接圓交的外接圓于，直線(xiàn)與的外接圓、的外接圓分別交于證明：

（1）平分；

（2）三線(xiàn)共點(diǎn)。

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【解析】

(1)如圖，聯(lián)結(jié).因四點(diǎn)共圓，其圓心為，則.

聯(lián)結(jié).

由和分別四點(diǎn)共圓，得，

.相加得.

故四點(diǎn)共圓.

又因四點(diǎn)共圓，即有五點(diǎn)共圓，此圓直徑為，設(shè)圓心為.所以，，即三點(diǎn)共線(xiàn).

由，即，故為的外接圓直徑.從而，.

由，知為的外接圓直徑.進(jìn)而，，∥∥.

因直徑過(guò)的中點(diǎn)，故垂直且平分弦.

同理，的外接圓直徑.

又，則∥，∥.

于是，∽.所以，.①

由∥，得∽.所以，.②

①×②，且，有.

所以，∽.

故平分.平分；

(2)為證三線(xiàn)共點(diǎn)，只要證皆過(guò)點(diǎn).

由于的圓心角，

所以，∥.因此，三點(diǎn)共線(xiàn).

同理，三點(diǎn)共線(xiàn).

因此，三線(xiàn)共點(diǎn).