【題目】對整點(diǎn)25邊形的頂點(diǎn)作三染色.求證:存在一個三頂點(diǎn)同色的三角形,它的重心也是整點(diǎn).
【答案】見解析
【解析】
對25個頂點(diǎn)作三染色,必有9個頂點(diǎn)同色,不妨設(shè)同為紅色.
下面證明:必存在一個三頂點(diǎn)均為紅色的,其重心也是整點(diǎn).
(1)若的橫(縱)坐標(biāo)中有五個模3同余,不妨設(shè).
此時,由于中必有三個數(shù)其和能被3整除,
設(shè).
則的重心也是整點(diǎn).
同理,若縱坐標(biāo)中有五個模3同余,結(jié)論同樣成立.
(2)若的橫坐標(biāo)中任意五個模3不同余,且縱坐標(biāo)中任意五個也模3不同余,則被3除時,余數(shù)取遍0,1,2.
同理,被3除時,余數(shù)也取遍0,1,2.
從而,中至少有兩種余數(shù)出現(xiàn)3次,不妨設(shè)
,
.
此時,若或有一個成立,則命題已真.
否則,對模3恰有兩個余數(shù)(記為,且).
同理,對模3也恰有兩個余數(shù)(或?yàn)?/span>或?yàn)?/span>,或?yàn)?/span>).也就是說對模3的余數(shù)只有兩種可能:
(i)包括全部;
(ii)只包括,但每一個重復(fù)2~4次.
此時,取,使.
于是,存在,使,
且,其中之一成立
從而,的重心也是整點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從1~2010中選出總和為1006779的1005個數(shù),且這1005個數(shù)中任意兩數(shù)之和都不等于2011.
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(2)當(dāng)取最小值時,求 中所有小于1005的數(shù)之和。
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【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),其焦點(diǎn)在軸正半軸上,為直線上一點(diǎn),圓與軸相切(為圓心),且,關(guān)于點(diǎn)對稱.
(1)求圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過的直線交圓于,兩點(diǎn),交拋物線于,兩點(diǎn),求證:.
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(1)當(dāng)函數(shù)的圖像在上與x軸有唯一的公共點(diǎn)時,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)時,求函數(shù)在上的最大值與最小值.
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【題目】(本小題滿分12分)
如圖,四棱錐的底面為菱形,平面,,
分別為的中點(diǎn),.
(Ⅰ)求證:平面平面.
(Ⅱ)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
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【題目】如圖所示,在四棱錐中,平面,,,AP=AD=2AB=2BC,點(diǎn)在棱上.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)當(dāng)平面時,求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】如圖,銳角的三邊互不相等,其垂心為,是邊的中點(diǎn),直線,的外接圓交的外接圓于,直線與的外接圓、的外接圓分別交于證明:
(1)平分;
(2)三線共點(diǎn)。
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【題目】《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓,如圖是易經(jīng)八卦(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦),每一卦由三根線組成(""表示一根陽線,""表示一根陰線),從八卦中任取兩卦,這兩卦的六根線中恰有兩根陽線,四根陰線的概率為_______.
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