已知：f（x）＝＋ax＋b（a、b∈R），x∈[－1，1]．

記|f（x）|的最大值為M，求證：M ≥．

 

答案：
解析：

證法一：∵  M≥|f（0）|，M≥|f（1）|，M≥|f（－1）|，

　　    ∴  4M≥2|f（0）|＋|f（1）|＋|f（－1）|≥|f（1）|＋f（－1）－2f（0）|＝2．

即得M≥．

證法二：用反證法．

　　   假設M，即，（－1≤x≤1），，

即，

當x＝1時，，

當x＝－1時，，

∴  ，又當x＝0時，，

∴  ，矛盾．故M≥．

證法三：的頂點坐標是（）．

　　   ①若，則M應是和中最大的一個．

而|f（－1）|＋≥＞4，

∴  、中必有大于等于者．

　　   ②若，則M應是，，中最大的一個．

　　  （i）當時，＋≥|f（1）＋f（－1）＝|2＋2b|≥1，

∴  在|f（1）|，|f（－1）|中，必有一個大于等于．

　　  （ii）時，，．

∴  必有M．綜上所述，M≥總成立．

 


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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年河南鄭州智林中學高三4月模擬考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

 已知函數(shù)f（x）＝（1＋x）2－4a lnx（a∈N﹡）．

（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在（1，＋∞）上是增函數(shù)，求a的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若關(guān)于x的方程f（x）＝x2－x＋b在區(qū)間[1，e]上恰有一個實根，求實數(shù)b的取值范圍．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年河南省南陽市高三上學期期終質(zhì)量評估理科數(shù)學 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）＝ax－lnx（a為常數(shù)）．

       （Ⅰ）當a＝1時，求函數(shù)f（x）的最小值；

       （Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[1，＋∞）上的最值；

       （Ⅲ）試證明對任意的n∈N﹡都有＜1．

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年河南省衛(wèi)輝市高三第四次月考數(shù)學理卷 題型：填空題

（本小題滿分12分）

    已知函數(shù)f（x）＝ln（x＋a）－x2－x在x＝0處取得極值．

   （Ⅰ）求實數(shù)a的值；

   （Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）＝－x＋b在區(qū)間[0，2]上恰有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍；

   （Ⅲ）證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln<都成立．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年吉林省高二下學期期中考試數(shù)學（理） 題型：解答題

（本小題滿分12分）

       已知函數(shù)f （x）＝ln（1＋x）＋a （x＋1）2 （a為常數(shù)）．

   （Ⅰ）若函數(shù)f （x）在x＝1處有極值，判斷該極值是極大值還是極小值；

   （Ⅱ）對滿足條件a≤的任意一個a，方程f （x）＝0在區(qū)間（0，3）內(nèi)實數(shù)根的個數(shù)是多少？

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012屆遼寧省大連市高二上學期期末考試（文科）試題 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋bx＋1在x＝－與x＝1時都取得極值。

 (1)求a、b的值與函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

(2)求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間

 

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