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已知函數f（x）＝ax－lnx（a為常數）．

       （Ⅰ）當a＝1時，求函數f（x）的最小值；

       （Ⅱ）求函數f（x）在[1，＋∞）上的最值；

       （Ⅲ）試證明對任意的n∈N﹡都有＜1．

 

 

【答案】

解（1）當時，函數=，

∵，令得

∵當時，   ∴函數在上為減函數

∵當時   ∴函數在上為增函數

∴當時，函數有最小值，      --------3分

（2）∵

若，則對任意的都有，∴函數在上為減函數

∴函數在上有最大值，沒有最小值，； --------4分

若，令得

當時，，當時，函數在上為減函數

當時   ∴函數在上為增函數

∴當時，函數有最小值，   ------6分

當時，在恒有

∴函數在上為增函數，

函數在有最小值，．   ---------7分

綜上得：當時，函數在上有最大值，，沒有最小值；

當時，函數有最小值，，沒有最大值；

當時，函數在有最小值，，沒有最大值．---8分

（3）由（1）知函數=在上有最小值1

即對任意的都有，即，      ---------10分

當且僅當時“＝”成立

∵       ∴且

∴

∴對任意的都有．         ……12分

 

【解析】略

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：數學教研室 題型：044

已知函數f（x）＝a·的圖像過點A（4，）和B（5，1）．

（1）求函數f（x）的解析式；

（2）記（n），n是正整數，是數列{}的前n項和，解關于n的不等式；

（3）對于（2）中的與，整數是否為數列{}中的項?若是，則求出相應的項數；若不是，則說明理由．

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年河南省五市高三第二次聯考理科數學 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知函數f（x）＝－x （e為自然對數的底數）．

   （Ⅰ）求f（x）的最小值；

   （Ⅱ）不等式f（x）>ax的解集為P，若M＝{x｜≤x≤2}且M∩P≠，求實數a的

取值范圍；

   （Ⅲ）已知n∈N﹡，且＝（t為常數，t≥0），是否存在等比數列{}，使得b1＋b2＋…＝?若存在，請求出數列{}的通項公式；若不存在，請說明理由．

 

 

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科目：高中數學 來源：2012屆遼寧省大連市高二上學期期末考試（文科）試題 題型：解答題

已知函數f（x）＝x3＋ax2＋bx＋1在x＝－與x＝1時都取得極值。

 (1)求a、b的值與函數f（x）的單調區(qū)間；

(2)求函數f（x）的單調區(qū)間

 

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科目：高中數學 來源： 題型：

21.已知函數f（x）＝a·bx的圖象過點A（4，）和B（5，1）.

（1）求函數f（x）的解析式；

（2）記an＝log2f（n），n是正整數，Sn是數列｛an｝的前n項和，解關于n的不等式anSn≤0；

（3）對于（2）中的an與Sn，整數104是否為數列｛anSn｝中的項？若是，則求出相應的項數；若不是，則說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

221.已知函數f（x）＝a·bx的圖象過點A（4，）和B（5，1）.

（1）求函數f（x）的解析式；

（2）記an＝log2f（n），n是正整數，Sn是數列｛an｝的前n項和，解關于n的不等式anSn≤0；

（3）對于（2）中的an與Sn，整數964是否為數列｛anSn｝中的項？若是，則求出相應的項數；若不是，則說明理由.

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