已知△AOB的頂點A在射線l1:y=
3
x(x>0)
上,A,B兩點關(guān)于x軸對稱,O為坐標原點,且線段AB上有一點M滿足|AM|•|MB|=3.當點A在l1上移動時,記點M的軌跡為W.
(Ⅰ)求軌跡W的方程;
(Ⅱ)設(shè)N(2,0),過N的直線l與W相交于P、Q兩點.求證:不存在直線l,使得
OP
OQ
=1
(Ⅰ)因為A,B兩點關(guān)于x軸對稱,
所以AB邊所在直線與y軸平行.
設(shè)M(x,y),由題意,得A(x,
3
x), B(x,-
3
x)
,
所以|AM|=
3
x-y, |MB|=y+
3
x
,
因為|AM|•|MB|=3,
所以(
3
x-y)×(y+
3
x)=3
,即x2-
y2
3
=1

所以點M的軌跡W的方程為x2-
y2
3
=1(x>0)

(Ⅱ)證明:設(shè)l:y=k(x-2)或x=2,P(x1,y1),Q(x2,y2),
當直線l:y=k(x-2)時:
由題意,知點P,Q的坐標是方程組
x2-
y2
3
=1
y=k(x-2)
的解,
消去y得(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0,
所以△=(4k22-4(3-k2)(-4k2-3)=36(k2+1)>0,
且3-k2≠0,x1+x2=
4k2
k2-3
, x1x2=
4k2+3
k2-3
,
因為直線l與雙曲線的右支(即W)相交兩點P、Q,
所以x1+x2=
4k2
k2-3
>0, x1x2=
4k2+3
k2-3
>0
,即k2>3.1
因為y1y2=k(x1-2)•k(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4],
所以
OP
OQ
=x1x2+y1y2,=(1+k2)x1x2-2k2(x1+x2)+4k2,
=(1+k2)•
4k2+3
k2-3
-2k2
4k2
k2-3
+4k2
=
3-5k2
k2-3

要使
OP
OQ
=1
,則必須有
3-5k2
k2-3
=1
,解得k2=1,代入1不符合.
所以不存在l,使得
OP
OQ
=1

當直線l:x=2時,P(2,3),Q(2,-3),
OP
OQ
=-5
,不符合題意.
綜上:不存在直線l使得
OP
OQ
=1
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