Question

已知△AOB的頂點A在射線上，A，B兩點關(guān)于x軸對稱，O為坐標原點，且線段AB上有一點M滿足|AM|•|MB|=3．當點A在l₁上移動時，記點M的軌跡為W．
（Ⅰ）求軌跡W的方程；
（Ⅱ）設(shè)N（2，0），過N的直線l與W相交于P、Q兩點．求證：不存在直線l，使得．

Answer 1

（Ⅰ）解：因為A，B兩點關(guān)于x軸對稱，
所以AB邊所在直線與y軸平行．
設(shè)M（x，y），由題意，得，
所以，
因為|AM|•|MB|=3，
所以，即，
所以點M的軌跡W的方程為．
（Ⅱ）證明：設(shè)l：y=k（x-2）或x=2，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
當直線l：y=k（x-2）時：
由題意，知點P，Q的坐標是方程組的解，
消去y得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，
所以△=（4k²）²-4（3-k²）（-4k²-3）=36（k²+1）＞0，
且3-k²≠0，，
因為直線l與雙曲線的右支（即W）相交兩點P、Q，
所以，即k²＞3.1
因為y₁y₂=k（x₁-2）•k（x₂-2）=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]，
所以=x₁x₂+y₁y₂，=（1+k²）x₁x₂-2k²（x₁+x₂）+4k²，
==，
要使，則必須有，解得k²=1，代入1不符合．
所以不存在l，使得．
當直線l：x=2時，P（2，3），Q（2，-3），，不符合題意．
綜上：不存在直線l使得．
分析：（Ⅰ）由A，B兩點關(guān)于x軸對稱，得AB邊所在直線與y軸平行．設(shè)M（x，y），由題意|AM|•|MB|=3代入點的坐標，即可得點M的軌跡W的方程；
（Ⅱ）先設(shè)l：y=k（x-2）或x=2，和點的坐標：P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），當直線l：y=k（x-2）時：由題意，知點P，Q的坐標是方程組的解，將直線的方程代入雙曲線的方程，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，再結(jié)合直線l與雙曲線相交于兩個不同的點得到根的判別式大于0，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及向量垂直的條件，從而解決問題．
點評：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、軌跡方程、雙曲線方程、向量的運算等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．