Question

已知△AOB的頂點(diǎn)A在射線l1：y=

3

x(x＞0)上，A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且線段AB上有一點(diǎn)M滿足|AM|•|MB|=3．當(dāng)點(diǎn)A在l₁上移動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為W．
（Ⅰ）求軌跡W的方程；
（Ⅱ）設(shè)N（2，0），過N的直線l與W相交于P、Q兩點(diǎn)．求證：不存在直線l，使得

OP

•

OQ

=1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，得AB邊所在直線與y軸平行．設(shè)M（x，y），由題意|AM|•|MB|=3代入點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得點(diǎn)M的軌跡W的方程；
（Ⅱ）先設(shè)l：y=k（x-2）或x=2，和點(diǎn)的坐標(biāo)：P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），當(dāng)直線l：y=k（x-2）時(shí)：由題意，知點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)是方程組

x2- y2 3 =1 y=k(x-2)

的解，將直線的方程代入雙曲線的方程，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，再結(jié)合直線l與雙曲線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)得到根的判別式大于0，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及向量垂直的條件，從而解決問題．

解答：（Ⅰ）解：因?yàn)锳，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，
所以AB邊所在直線與y軸平行．
設(shè)M（x，y），由題意，得A(x，

3

x)， B(x，-

3

x)，
所以|AM|=

3

x-y， |MB|=y+

3

x，
因?yàn)閨AM|•|MB|=3，
所以(

3

x-y)×(y+

3

x)=3，即x2-

y2

3

=1，
所以點(diǎn)M的軌跡W的方程為x2-

y2

3

=1(x＞0)．
（Ⅱ）證明：設(shè)l：y=k（x-2）或x=2，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
當(dāng)直線l：y=k（x-2）時(shí)：
由題意，知點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)是方程組

x2- y2 3 =1 y=k(x-2)

的解，
消去y得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，
所以△=（4k²）²-4（3-k²）（-4k²-3）=36（k²+1）＞0，
且3-k²≠0，x1+x2=

4k2

k2-3

， x1x2=

4k2+3

k2-3

，
因?yàn)橹本�l與雙曲線的右支（即W）相交兩點(diǎn)P、Q，
所以x1+x2=

4k2

k2-3

＞0， x1x2=

4k2+3

k2-3

＞0，即k²＞3.1
因?yàn)閥₁y₂=k（x₁-2）•k（x₂-2）=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]，
所以

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂，=（1+k²）x₁x₂-2k²（x₁+x₂）+4k²，
=(1+k2)•

4k2+3

k2-3

-2k2•

4k2

k2-3

+4k2=

3-5k2

k2-3

，
要使

OP

•

OQ

=1，則必須有

3-5k2

k2-3

=1，解得k²=1，代入1不符合．
所以不存在l，使得

OP

•

OQ

=1．
當(dāng)直線l：x=2時(shí)，P（2，3），Q（2，-3），

OP

•

OQ

=-5，不符合題意．
綜上：不存在直線l使得

OP

•

OQ

=1．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、軌跡方程、雙曲線方程、向量的運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．