Question

【題目】平面直角坐標系xOy中，橢圓C： =1（a＞b＞0）的長軸長為2，拋物線E：x2=2y的準線與橢圓C相切．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l與橢圓C相交于A，B兩點且與拋物線E在第一象限相切于點P，線段AB的中點為D，直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點M，求 的最小值及此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可知2a=2，b= ，∴橢圓C的方程為：x2+4y2=1．
（Ⅱ）設(shè)P（x0 ， y0），（x0＞0）可得 ，由y= x2的導數(shù)為y′=x，即有切線的斜率為x0 ，
則切線的方程為y﹣y0=x0（x﹣x0），
直線l的方程為y=x0x﹣y0 ， 令x=0，可得G（0，﹣y0），
則S△PFG= |FG||x0|= x0（ +y0）= x0（1+x02）；
∵|OG|=y0 ，∴ = ≥1，
當且僅當x0=1時，即P（1， ）時， 有最小值1
【解析】（Ⅰ）運用橢圓的長軸和拋物線的準線，以及橢圓的a，b，c的關(guān)系，解得a，b，進而得到橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)P（x0 ， y0），運用導數(shù)求得切線的斜率和方程，令x=0，可得點G的坐標，S△PFG= |FG||x0|= x0（ +y0）= x0（1+x02）； = 即可．
【考點精析】利用橢圓的標準方程對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．