【題目】已知函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(Ⅰ)討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);

(Ⅱ)若的一個(gè)極值點(diǎn),且,證明:.

【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)見解析

【解析】

I)求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),對(duì)分成四種情況進(jìn)行分類討論,根據(jù)的單調(diào)區(qū)間,判斷出極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

II)首先結(jié)合(I)以及判斷出,且,由此求得的表達(dá)式,利用這個(gè)表達(dá)的導(dǎo)數(shù)求得最大值為,由此證得.

(Ⅰ)的定義域?yàn)?/span>,,

①若,則,

所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),

所以上遞減,在遞增.

所以唯一的極小值點(diǎn),無(wú)極大值,

故此時(shí)有一個(gè)極值點(diǎn).

②若,令,

,,

當(dāng)時(shí),,

則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;

當(dāng)時(shí),.

所以-2,分別為的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn),

故此時(shí)2個(gè)極值點(diǎn).

當(dāng)時(shí),,

且不恒為0,

此時(shí)上單調(diào)遞增,

無(wú)極值點(diǎn)

當(dāng)時(shí),,

則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),

;當(dāng)時(shí),.

所以,-2分別為的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn),

故此時(shí)2個(gè)極值點(diǎn).

綜上,當(dāng)時(shí),無(wú)極值點(diǎn);

當(dāng)時(shí),1個(gè)極值點(diǎn);

當(dāng)時(shí),2個(gè)極值點(diǎn).

(Ⅱ)證明:若的一個(gè)極值點(diǎn),

由(Ⅰ)可知,

,所以,

,則,

所以.

,則,

所以,

又因?yàn)?/span>,所以,令,得.

當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,

所以唯一的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn),

,

,即.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知拋物線和圓,傾斜角為45°的直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn),且與圓相切.

1)求的值;

2)動(dòng)點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上,動(dòng)點(diǎn)上,若點(diǎn)處的切線軸于點(diǎn),設(shè).求證點(diǎn)在定直線上,并求該定直線的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】移動(dòng)支付(支付寶及微信支付)已經(jīng)漸漸成為人們購(gòu)物消費(fèi)的一種支付方式,為調(diào)查市民使用移動(dòng)支付的年齡結(jié)構(gòu),隨機(jī)對(duì)100位市民做問(wèn)卷調(diào)查得到列聯(lián)表如下:

1)將上列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并請(qǐng)說(shuō)明在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)010的前提下,認(rèn)為支付方式與年齡是否有關(guān)?

2)在使用移動(dòng)支付的人群中采用分層抽樣的方式抽取10人做進(jìn)一步的問(wèn)卷調(diào)查,從這10人隨機(jī)中選出3人頒發(fā)參與獎(jiǎng)勵(lì),設(shè)年齡都低于35歲(含35歲)的人數(shù)為,求的分布列及期望.

(參考公式:(其中

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在銳角中,角的對(duì)邊分別為,.

(1)求角的大;

(2)若,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(Ⅰ)討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);

(Ⅱ)若的一個(gè)極值點(diǎn),且,證明:.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知橢圓的離心率為,短軸長(zhǎng)為

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若橢圓的左焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),則在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)使得直線的斜率互為相反數(shù)?若存在,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,也請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知橢圓上一點(diǎn)與橢圓右焦點(diǎn)的連線垂直于軸,過(guò)橢圓上一點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)(均不在坐標(biāo)軸上),設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)的射線與橢圓交于點(diǎn)

1)若,求實(shí)數(shù)的值;

2)當(dāng)時(shí),若四邊形的面積為12,試求直線的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知橢圓的離心率,且圓過(guò)橢圓的上,下頂點(diǎn).

1)求橢圓的方程.

2)若直線的斜率為,且直線交橢圓、兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn),判斷直線的斜率之和是否為定值,如果是,請(qǐng)求出此定值:如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案