【題目】已知橢圓的離心率為，短軸長為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若橢圓的左焦點為，過點的直線與橢圓交于兩點，則在軸上是否存在一個定點使得直線的斜率互為相反數(shù)？若存在，求出定點的坐標(biāo)；若不存在，也請說明理由．

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）據(jù)題意，得 ，求解方程組確定a,b的值即可求得橢圓方程；

（2）據(jù)題設(shè)知點，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為．與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理有． 假設(shè)存在點M滿足題意，則，結(jié)合韋達(dá)定理求解實數(shù)m的值即可；然后討論斜率不存在的情況即可確定定點M存在.

（1）據(jù)題意，得

解得，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）據(jù)題設(shè)知點，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為．

由，得．

設(shè)，則．

設(shè)，則直線的斜率分別滿足．

又因為直線的斜率互為相反數(shù)，

所以，

所以，所以，

所以，

所以，所以．

若對任意恒成立，則，

當(dāng)直線的斜率不存在時，若，則點滿足直線的斜率互為相反數(shù)．

綜上，在軸上存在一個定點，使得直線的斜率互為相反數(shù)．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：

0

0

5

0

（1）請將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，填寫在答題卡上相應(yīng)位置，并直接寫出函數(shù)的解析式；

（2）將圖象上所有點向左平行移動個單位長度，并把圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象.若圖象的一個對稱中心為，求的最小值；

（3）在（2）條件下，求在上的增區(qū)間.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面為正方形.且，，.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了研究每周累計戶外暴露時間是否足夠（單位：小時）與近視發(fā)病率的關(guān)系，對某中學(xué)一年級名學(xué)生進(jìn)行不記名問卷調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：

（1）用樣本估計總體思想估計該中學(xué)一年級學(xué)生的近視率；

（2）能否認(rèn)為在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為不足夠的戶外暴露時間與近視有關(guān)系？

附：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，

（1）當(dāng)時，求的最大值和最小值；

（2）求實數(shù)的取值范圍，使在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是梯形．BC∥AD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，，

（Ⅰ）證明；AC⊥BP；

（Ⅱ）求直線AD與平面APC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在傳染病學(xué)中，通常把從致病刺激物侵入機(jī)體或者對機(jī)體發(fā)生作用起，到機(jī)體出現(xiàn)反應(yīng)或開始呈現(xiàn)該疾病對應(yīng)的相關(guān)癥狀時止的這一階段稱為潛伏期. 一研究團(tuán)隊統(tǒng)計了某地區(qū)1000名患者的相關(guān)信息，得到如下表格：

潛伏期（單位:天）

人數(shù)

（1）求這1000名患者的潛伏期的樣本平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（2）該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響，為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系，以潛伏期是否超過6天為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取200人，得到如下列聯(lián)表. 請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān)；

潛伏期天

潛伏期天

總計

50歲以上（含50歲）

50歲以下

55

總計

200

（3）以這1000名患者的潛伏期超過6天的頻率，代替該地區(qū)1名患者潛伏期超過6天發(fā)生的概率，每名患者的潛伏期是否超過6天相互獨立. 為了深入研究，該研究團(tuán)隊隨機(jī)調(diào)查了名患者，其中潛伏期超過6天的人數(shù)最有可能（即概率最大）是多少？

附：

，其中.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】楊輝，字謙光，南宋時期杭州人.在他1261年所著的《詳解九章算法》一書中，輯錄了如圖所示的三角形數(shù)表，稱之為“開方作法本源”圖，并說明此表引自11世紀(jì)中葉（約公元1050年）賈憲的《釋鎖算術(shù)》，并繪畫了“古法七乘方圖”.故此，楊輝三角又被稱為“賈憲三角”.楊輝三角是一個由數(shù)字排列成的三角形數(shù)表，一般形式如下：

基于上述規(guī)律，可以推測，當(dāng)時，從左往右第22個數(shù)為_____________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一工廠計劃生產(chǎn)某種當(dāng)?shù)卣刂飘a(chǎn)量的特殊產(chǎn)品，月固定成本為1萬元，設(shè)此工廠一個月內(nèi)生產(chǎn)該特殊產(chǎn)品萬件并全部銷售完.根據(jù)當(dāng)?shù)卣螽a(chǎn)量滿足，每生產(chǎn)件需要再投入萬元，每1萬件的銷售收入為（萬元），且每生產(chǎn)1萬件產(chǎn)品政府給予補(bǔ)助（萬元）.（注：月利潤=月銷售收入+月政府補(bǔ)助－月總成本）.

（1）寫出月利潤（萬元）關(guān)于月產(chǎn)量（萬件）的函數(shù)解析式；

（2）求該工廠在生產(chǎn)這種特殊產(chǎn)品中所獲得的月利潤最大值（萬元）及此時的月生產(chǎn)量（萬件）

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