如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥BC，A1B⊥BB1，
（1）求證：A1C⊥CC1；
（2）若AB=2，AC=
3
，BC=
7
，問(wèn)AA1為何值時(shí)，三棱柱ABC-A1B1C1體積最大，并求此最大值．
考點(diǎn)：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積
專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離
分析：（1）通過(guò)證明直線CC1與平面BA1C垂直，即可證明A1C⊥CC1；
（2）作AO⊥B 于O，連結(jié)A1O，說(shuō)明∠AA1O=90°，設(shè)A1A=h，求出A1O的表達(dá)式，以及三棱柱ABC-A1B1C1體積V的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的最值，求最大值．
解答： 解：（1）∵三棱柱ABC-A1B1C1中，
∴A1A∥CC1∥BB1，
∵AA1⊥BC，∴CC1⊥BC，
∵A1B⊥BB1，∴A1B⊥CC1，
∵BC∩BA1=B，
∴CC1⊥平面BA1C，A1C?平面BA1C
∴A1C⊥CC1；
（2）作AO⊥B 于O，連結(jié)A1O，由（1）可知∠AA1O=90°，∵AB=2，AC=
3
，BC=
7
，∴AB⊥AC，
∴AO=
2
3
7
，
設(shè)A1A=h，A1O=
(
2
3
7
)2-h2
=
12
7
-h2
，
∴三棱柱ABC-A1B1C1體積V=S△A1BC•h=
1
2
×
7
×
12
7
-h2
•h=
1
2
12h2-7h4
，
當(dāng)h2=
6
7
，即h=
42
7
時(shí)，即AA1=
42
7
時(shí)棱柱的體積最大，
最大值為：
3
7
7
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線與平面垂直的判定與應(yīng)用，幾何體的體積的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及空間想象能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知α、β、γ是三個(gè)不重合的平面，m、n是兩條不重合的直線，下列命題為真命題的是（　�。�
A、m∥α，n∥α，則m∥n
B、α∥γ，n∥β，α∩β=m，則m∥n
C、α∥β，m?α，n?β，則m∥n
D、α∥γ，n?β，n?γ，α∩β=m，則m∥n

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=
n2+n
2
，n∈N*．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=2an+（-1）nan，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，為了比較他們的研發(fā)水平，現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩個(gè)小組往年研發(fā)新產(chǎn)品的結(jié)果如下：
（a，b），（a，
.
b
），（a，b），（
.
a
，b），（
.
a
，
.
b
），（a，b），（a，b），（a，
.
b
），
（
.
a
，b），（a，
.
b
），（
.
a
，
.
b
），（a，b），（a，
.
b
），（
.
a
，b）（a，b）
其中a，
.
a
分別表示甲組研發(fā)成功和失敗，b，
.
b
分別表示乙組研發(fā)成功和失�。�
（Ⅰ）若某組成功研發(fā)一種新產(chǎn)品，則給該組記1分，否則記0分，試計(jì)算甲、乙兩組研發(fā)新產(chǎn)品的成績(jī)的平均數(shù)和方差，并比較甲、乙兩組的研發(fā)水平；
（Ⅱ）若該企業(yè)安排甲、乙兩組各自研發(fā)一樣的產(chǎn)品，試估計(jì)恰有一組研發(fā)成功的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=cosx•sin（x+
π
3
）-
3
cos2x+
3
4
，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在閉區(qū)間[-
π
4
，
π
4
]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn滿足Sn2-（n2+n-3）Sn-3（n2+n）=0，n∈N*．
（1）求a1的值；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有
1
a1(a1+1)
+
1
a2(a2+1)
+…+
1
an(an+1)
＜
1
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽．假設(shè)每局甲獲勝的概率為
2
3
，乙獲勝的概率為
1
3
，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．
（Ⅰ）求甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的概率；
（Ⅱ）記X為比賽決勝出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)y=cos2x+2sinx的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若直線l與曲線C滿足下列兩個(gè)條件：
（i）直線l在點(diǎn)P（x0，y0）處與曲線C相切；（ii）曲線C在點(diǎn)P附近位于直線l的兩側(cè)，則稱直線l在點(diǎn)P處“切過(guò)”曲線C．
下列命題正確的是
 
（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）．
①直線l：y=0在點(diǎn)P（0，0）處“切過(guò)”曲線C：y=x3
②直線l：x=-1在點(diǎn)P（-1，0）處“切過(guò)”曲線C：y=（x+1）2
③直線l：y=x在點(diǎn)P（0，0）處“切過(guò)”曲線C：y=sinx
④直線l：y=x在點(diǎn)P（0，0）處“切過(guò)”曲線C：y=tanx
⑤直線l：y=x-1在點(diǎn)P（1，0）處“切過(guò)”曲線C：y=lnx．

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