Question

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n滿足S_n²-（n²+n-3）S_n-3（n²+n）=0，n∈N^*．
（1）求a₁的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）證明：對一切正整數(shù)n，有

1

a1(a1+1)

+

1

a2(a2+1)

+…+

1

an(an+1)

＜

1

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）本題可以用n=1代入題中條件，利用S₁=a₁求出a₁的值；
（2）利用a_n與S_n的關(guān)系，將條件轉(zhuǎn)化為a_n的方程，從而求出a_n；
（3）利用放縮法，將所求的每一個(gè)因式進(jìn)行裂項(xiàng)求和，即可得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）令n=1得：

S

2 1

-(-1)S1-3×2=0，即

S

2 1

+S1-6=0．
∴（S₁+3）（S₁-2）=0．
∵S₁＞0，∴S₁=2，即a₁=2．
（2）由

S

2 n

-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0得：
(Sn+3)[Sn-(n2+n)]=0．
∵a_n＞0（n∈N^*），
∴S_n＞0．
∴Sn=n2+n．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=2n，
又∵a₁=2=2×1，
∴an=2n(n∈N*)．
（3）由（2）可知

1

an(an+1)

=

1

2n(2n+1)

，
?n∈N^*，

1

an(an+1)

=

1

2n(2n+1)

＜

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
當(dāng)n=1時(shí)，顯然有

1

a1(a1+1)

=

1

6

＜

1

3

；
當(dāng)n≥2時(shí)，

1

a1(a1+1)

+

1

a2(a2+1)

+…+

1

an(an+1)

＜

1

2•(2+1)

+

1

2

(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

3

-

1

2

•

1

2n+1

＜

1

3

所以，對一切正整數(shù)n，有

1

a1(a1+1)

+

1

a2(a2+1)

+…+

1

an(an+1)

＜

1

3

．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系、裂項(xiàng)求和法，還用到了放縮法，計(jì)算量較大，有一定的思維難度，屬于難題．