Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，△ABC是邊長為6的正三角形，設 （x，y∈R）．

（1）若x=y=1，求| |；
（2）若 =36， =54，求x，y．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，

若x=y=1，則 ；

∴BD過AC的中點E，且BD=2BE= ；

即

（2）解：設∠DBC=θ，則∠DBA=60°﹣θ，設BD=d；

∴由 =36， =54得：

；

解得，cos ，d= ；

∴ ；

即84=36x2+36xy+36y2，整理得， ①；

且 ；

∴ =18x﹣18y=18；

∴x﹣y=1②；

①②聯(lián)立得， （舍去），x= ．

【解析】（1）x，y=1時，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，以及等邊三角形的中線也是高線便可求出BD的長度，即求出 的值；（2）可設BD=d，∠DBC=θ，根據(jù)條件及向量數(shù)量積的計算公式便可得出不等式組 ，解該不等式組可求出d的大小，然后對 兩邊平方即可得出 ①；再根據(jù)該問的條件可得到方程x﹣y=1②，這樣兩式聯(lián)立即可求出x，y的值．
【考點精析】掌握平面向量的基本定理及其意義是解答本題的根本，需要知道如果、是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實數(shù)、，使．