已知定義在[1,+∞)上的函數(shù)f(x)=
8x-8,1≤x<
3
2
-8x+16,
3
2
≤x≤2
1
2
f(
x
2
),x>2
,則關(guān)于x的方程2nf(x)-1=0(n∈N*)的所有解的和為 ( 。
A、3n2+3n
B、3×2n+2+9
C、3n+2+6
D、9×2n+1-3
考點:數(shù)列的求和,分段函數(shù)的應(yīng)用
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:作出函數(shù)y=f(x),yn=
1
2n
的圖象:當(dāng)n=1時,方程f(x)=
1
2
的所有根之和為:
3
2
+2×3+2×6+12
=3×(1+2+22+22).依此類推:取n時,方程f(x)=
1
2n
的所有根之和為:3(1+2+22+…+2n+1+2n+1),即可得出.
解答: 解:根據(jù)f(x)=
8x-8,1≤x<
3
2
-8x+16,
3
2
≤x≤2
1
2
f(
x
2
),x>2
,y1=
1
2
,y2=
1
4
,…,yn=
1
2n

作出圖象:
當(dāng)n=1時,方程f(x)=
1
2
的所有根之和為:
3
2
+2×3+2×6+12
=3+6+12+12=3×(1+2+22+22).
依此類推:取n時,方程f(x)=
1
2n
的所有根之和為:
3(1+2+22+…+2n+1+2n+1
=
2n+2-1
2-1
+3×2n+1
=9×2n+1-3.
故選:D.
點評:本題考查了函數(shù)圖象、方程的實數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點、等比數(shù)列的前n項和公式,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組,他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別是
2
3
3
5
.現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A,乙組研發(fā)新產(chǎn)品B.設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨立.若新產(chǎn)品A研發(fā)成功,預(yù)計企業(yè)可獲利潤120萬元;若新產(chǎn)品B研發(fā)成功,預(yù)計企業(yè)可獲得利潤100萬元.則該企業(yè)可獲利潤的數(shù)學(xué)期望為
 
萬元.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

運行如圖所示的程序框圖,輸出的所有實數(shù)對(x,y)所對應(yīng)的點都在某函數(shù)圖象上,則該函數(shù)的解析式為(  )
A、y=x+2
B、y=
3
x
C、y=3x
D、y=3x3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知F1,F(xiàn)2是雙曲線
y2
a2
-
x2
b2
=1(a>0,b>0)的上、下焦點,點F2關(guān)于漸近線對稱點恰好落在以點F1為圓心,|OF1|為半徑的圓上,則雙曲線的離心率為( 。
A、2
B、3
C、
3
D、
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)F1,F(xiàn)2為雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的左右焦點,以F1F2為直徑作圓與雙曲線左支交于A,B兩點,且∠AF1B=120°.則雙曲線的離心率為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=4x-3•2x+3.
(1)若函數(shù)的定義域為x∈[0,2],求該函數(shù)的值域.
(2)若該函數(shù)的值域為[7,43],試確定x的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左,右焦點分別為F1,F(xiàn)2,若在雙曲線的右支上存在點P,使得|PF1|=3|PF2|,則雙曲線離心率e的最大值為 。
A、
2
B、2
C、3
D、
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在某次考試中,從甲乙兩個班各抽取10名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進行統(tǒng)計分析,兩個班成績的莖葉圖如圖所示,成績不小于90分的為及格.
(1)用樣本估計總體,請根據(jù)莖葉圖對甲乙兩個班級的成績進行比較;
(2)求從甲班10名學(xué)生和乙班10名學(xué)生中各抽取一人,已知有人及格的條件下乙班同學(xué)不及格的概率;
(3)從甲班10人中抽取一人,乙班10人中抽取二人,三人中及格人數(shù)記為X,求X的分布列和期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知⊙O的半徑為2,PA是⊙O的切線,A為切點,且PA=2
2
,過點P的一條割線與⊙O交于B,C兩點,圓心O到割線的距離為
3
,則PB=
 

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