Question

設(shè)數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．若a₁＜a₂，b₁＜b₂，且b_i=a_i²（i=1，2，3），則數(shù)列{b_n}的公比為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，可得d＞0，由數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，可得b₂²=b₁•b₃，代入化簡(jiǎn)可得a₁和d的關(guān)系，分類討論可得b₁和b₂，可得其公比．

解答： 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由a₁＜a₂可得d＞0，
∴b₁=a₁²，b₂=a₂²=（a₁+d）²，
b₃=a₃²=（a₁+2d）²，
∵數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，∴b₂²=b₁•b₃，
即（a₁+d）⁴=a₁²•（a₁+2d）²，
∴（a₁+d）²=a₁•（a₁+2d）  ①
或（a₁+d）²=-a₁•（a₁+2d），②
由①可得d=0與d＞0矛盾，應(yīng)舍去；
由②可得a₁=

-2- 2

2

d，或a₁=

-2+ 2

2

d，
當(dāng)a₁=

-2- 2

2

d時(shí)，可得b₁=a₁²=

3+2 2

2

d2
b₂=a₂²=（a₁+d）²=

1

2

d2，此時(shí)顯然與b₁＜b₂矛盾，舍去；
當(dāng)a₁=

-2+ 2

2

d時(shí)，可得b₁=a₁²=

3-2 2

2

d2，
b₂=（a₁+d）²=

1

2

d2，
∴數(shù)列{b_n}的公比q=

b2

b1

=3+2

2

，
綜上可得數(shù)列{b_n}的公比q=3+2

2

，
故答案為：3+2

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)，涉及分類討論的思想，屬中檔題．