Question

設(shè)使定義在區(qū)間上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為.如果存在實(shí)數(shù)和函數(shù)，其中對(duì)任意的都有>0，使得，則稱(chēng)函數(shù)具有性質(zhì).

（1）設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)

①求證：函數(shù)具有性質(zhì)，②求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

（2）已知函數(shù)具有性質(zhì)，給定，，且，若||<||，求的取值范圍．

 

Answer 1

（1）①祥見(jiàn)解析；②當(dāng)b2時(shí)，在區(qū)間（1，+∞）上遞增；

當(dāng)b＞2時(shí)，在（1，）上遞減；在[，+∞）上遞增．

（2）.

【解析】

試題分析：（1）①先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后將其配湊成這種形式，再說(shuō)明h（x）對(duì)任意的x∈（1，+）都有h（x）＞0，即可證明函數(shù)具有性質(zhì)P（b）；

②根據(jù)第一問(wèn)令，討論對(duì)稱(chēng)軸與2的大小，當(dāng)b2時(shí)，對(duì)于x＞1，（x）＞0，所以＞0，可得在區(qū)間（1，+）上單調(diào)性，當(dāng)b＞2時(shí)，（x）圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸，可求出方程（x）=0的兩根，判定兩根的范圍，從而確定（x）的符號(hào)，得到的符號(hào)，最終求出單調(diào)區(qū)間．

（2）由題設(shè)知，函數(shù)g（x）得導(dǎo)數(shù)，其中h（x）＞0對(duì)于任意得x（1，+）都成立，當(dāng)x＞1時(shí)，，從而g（x）在（1，+）上單調(diào)遞增，分

①m（0，1）②m0③m1三種情況討論求解m得范圍即可.

試題解析：（1）①∵時(shí)，恒成立，∴函數(shù)具有性質(zhì)；

②當(dāng)b≤2時(shí)，對(duì)于x＞1，

所以，故此時(shí)在區(qū)間（1，+∞）上遞增；

當(dāng)b＞2時(shí)，（x）圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸，

方程的兩根為：，

而 ＞１，

當(dāng) x∈（1，）時(shí)，，

故此時(shí)在區(qū)間 （1，）上遞減；

同理得：在區(qū)間[，+）上遞增．

綜上所述，當(dāng)b2時(shí)，在區(qū)間（1，+）上遞增；

當(dāng)b＞2時(shí)，在 （1，）上遞減；在[，+∞）上遞增．

（2）由題設(shè)知，函數(shù)得導(dǎo)數(shù)，其中h（x）＞0對(duì)于任意得x（1，+）都成立

當(dāng)x＞1時(shí)，，從而在（1，+）上單調(diào)遞增

①當(dāng)m（0，1），，且

∴；同理可得

由的單調(diào)性可知，

從而有符合題意

②當(dāng)時(shí)，

β=（1-m）x1+mx2（1-m）x1+mx1=mx1

于是由及的單調(diào)性可知

與題設(shè)不符，

③當(dāng)時(shí)，同理可得，進(jìn)而可得與題設(shè)不符；

綜合①②③可得

考點(diǎn)：1.比較大小；2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.