Question

設(shè)g（x）=2x+，x．
（1）若m=1，求g（x）的單調(diào)區(qū)間（簡單說明理由，不必嚴(yán)格證明）；
（2 ）若m=1，證明g（x）的最小值為g（）；
（3）若，g₂（x）=，不等式|g₁（x）-g₂（x）|≥p恒成立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵g（x）=2x+為奇函數(shù)．奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同，
g（x）在x∈[，]上遞減，g（x）在x∈[，4]上遞增；
（2）用最值的定義證明：
g（x）在x∈[，]上遞減，對任意x∈[，]，
都有g(shù)（）≥g（x）≥g（），
g（x）在x∈[，4]上遞增，對任意x∈[，4]，都有g(shù)（4）≥g（x）≥g（），
綜上，g（x）的最小值為g（）．
（3），g₂（x）=，
|g₁（x）-g₂（x）|=，
|g₁（x）-g₂（x）|的最小值為0，
所以p≤0，即實(shí)數(shù)p的范圍是（-∞，0]．
分析：（1）根據(jù)y=ax+（a＞0，b＞0，x＜0）單調(diào)區(qū)間及奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性一致即可求出g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）g（x）的單調(diào)性即可證明；
（3）根據(jù)g（x）的單調(diào)性可表示出g₁（x），g₂（x），進(jìn)而表示出|g₁（x）-g₂（x）|，不等式|g₁（x）-g₂（x）|≥p恒成立等價于不等式|g₁（x）-g₂（x）|_min≥p，其最小值易求，從而問題得以解決．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及其應(yīng)用，考查不等式恒成立問題，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力．