(附加題)已知定義在[-1,1]上的奇函數(shù)f(x),在x∈(0,1]時(shí),f(x)=
2x4x+1

(1)當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),求f(x)的解析式;
(2)設(shè)g(x)=-2x•f(x)(-1<x<0),求函數(shù)y=g(x)的值域;
(3)若關(guān)于x的不等式λf(x)<1在x∈(0,1]上有解,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
分析:(1)定義在R上的奇函數(shù)f(x),可得f(0)=0,結(jié)合x(chóng)∈(-1,0)時(shí),f(x)的解析式,函數(shù)的奇偶性可得結(jié)論;
(2)求出函數(shù)g(x)的解析式,寫(xiě)成部分分式的形式,即可求函數(shù)y=g(x)的值域;
(3)關(guān)于x的不等式λf(x)<1在x∈(0,1]上有解,等價(jià)于λ•
2x
4x+1
<1在x∈(0,1]上有解,即λ<
4x+1
2x
在x∈(0,1]上有解,確定右邊對(duì)應(yīng)函數(shù)的值域,即可得到結(jié)論.
解答:解:(1)當(dāng)x∈[-1,0)時(shí),-x∈(0,1].
∵f(x)是奇函數(shù),x∈(0,1]時(shí),f(x)=
2x
4x+1
,
∴f(x)=-f(-x)=-
2-x
4-x+1
=-
2x
4x+1

∵f(0)=f(-0)=-f(0),∴f(0)=0,
∴在區(qū)間[-1,1]上,有f(x)=
-
2x
4x+1
,x∈[-1,0)
0,x=0
2x
4x+1
,x∈(0,1]
;
(2)-1<x<0時(shí),g(x)=2x
2x
4x+1
=
4x
4x+1
=1-
1
4x+1

∵-1<x<0,∴
5
4
4x+1<2

1
2
1
4x+1
4
5
,∴
1
5
<g(x)<
1
2

∴函數(shù)y=g(x)的值域?yàn)閇
1
5
,
1
2
];
(3)關(guān)于x的不等式λf(x)<1在x∈(0,1]上有解,等價(jià)于λ•
2x
4x+1
<1在x∈(0,1]上有解
即λ<
4x+1
2x
在x∈(0,1]上有解
令h(x)=
4x+1
2x
,則h′(x)=
2xln2(4x-1)
22x

∵x∈(0,1],∴h′(x)>0,∴h(x)在(0,1]上單調(diào)遞增
∴2<h(x)≤
5
2

∵λ<
4x+1
2x
在x∈(0,1]上有解
∴λ<
5
2
點(diǎn)評(píng):本題考查利用函數(shù)的奇偶性求對(duì)稱區(qū)間上的解析式,考查函數(shù)的值域,考查不等式有解,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.
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(2)證明:當(dāng)x<0時(shí),f(x)>1;
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1
16
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1
4
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1x
,
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(附加題)已知定義在[-1,1]上的奇函數(shù)f(x),在x∈(0,1]時(shí),f(x)=數(shù)學(xué)公式
(1)當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),求f(x)的解析式;
(2)設(shè)g(x)=-2x•f(x)(-1<x<0),求函數(shù)y=g(x)的值域;
(3)若關(guān)于x的不等式λf(x)<1在x∈(0,1]上有解,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

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附加題:
已知f(x)=x-,
(1)判斷函數(shù)在區(qū)間(-∞,0)上的單調(diào)性,并用定義證明;
(2)畫(huà)出該函數(shù)在定義域上的圖象.(圖象體現(xiàn)出函數(shù)性質(zhì)即可)

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