【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦與.當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，.

（1）求橢圓的方程；

（2）試探究是否為定值？若是，證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）（2）是定值；證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，.即求解.

（2）分兩種情況討論，①當(dāng)兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時(shí)，另一條弦所在直線的斜率不存在，易得.

②當(dāng)兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，直線的方程為.將直線方程代入橢圓方程中并整理，再利用弦長(zhǎng)公式分別求解即可.

（1）由題意知，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，.

.

又，

解得，，

所以橢圓方程為.

（2）①當(dāng)兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時(shí)，另一條弦所在直線的斜率不存在，

由題意知.

②當(dāng)兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，

則直線的方程為.

將直線方程代入橢圓方程中并整理得，

則，，

所以

.

同理，.

所以，

故是定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（題文）已知函數(shù)，其中為正實(shí)數(shù).

（1）若函數(shù)在處的切線斜率為2，求的值；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：

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【題目】已知橢圓：的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為，原點(diǎn)到直線的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知定點(diǎn)，是否存在過(guò)的直線，使與橢圓交于，兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)？若存在，求出的方程：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】設(shè)整數(shù)數(shù)列{an}共有2n（）項(xiàng)，滿足，，且（）．

（1）當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)；

（2）當(dāng)時(shí)，求滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)．

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【題目】某公司為了提高利潤(rùn)，從2012年至2018年每年對(duì)生產(chǎn)環(huán)節(jié)的改進(jìn)進(jìn)行投資，投資金額與年利潤(rùn)增長(zhǎng)的數(shù)據(jù)如下表：

年份

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

投資金額（萬(wàn)元）

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

7.5

年利潤(rùn)增長(zhǎng)（萬(wàn)元）

6.0

7.0

7.4

8.1

8.9

9.6

11.1

（1）請(qǐng)用最小二乘法求出關(guān)于的回歸直線方程（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；

（2）現(xiàn)從2012—2018年這7年中抽出三年進(jìn)行調(diào)查，記年利潤(rùn)增長(zhǎng)－投資金額，設(shè)這三年中（萬(wàn)元）的年份數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列與期望.

參考公式：，.

參考數(shù)據(jù)：，.

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【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若，試判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，長(zhǎng)途車站P與地鐵站O的距離為千米，從地鐵站O出發(fā)有兩條道路l1，l2，經(jīng)測(cè)量，l1，l2的夾角為45°，OP與l1的夾角滿足tan＝（其中0＜θ＜)，現(xiàn)要經(jīng)過(guò)P修條直路分別與道路l1，l2交匯于A，B兩點(diǎn)，并在A，B處設(shè)立公共自行車停放點(diǎn)．

（1）已知修建道路PA，PB的單位造價(jià)分別為2m元/千米和m元/千米，若兩段道路的總造價(jià)相等，求此時(shí)點(diǎn)A，B之間的距離；

（2）考慮環(huán)境因素，需要對(duì)OA，OB段道路進(jìn)行翻修，OA，OB段的翻修單價(jià)分別為n元/千米和n元/千米，要使兩段道路的翻修總價(jià)最少，試確定A，B點(diǎn)的位置．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知圓C的方程為：（x－3）2＋（y－2）2＝r2（r>0），若直線3x＋y＝3上存在一點(diǎn)P，在圓C上總存在不同的兩點(diǎn)M，N，使得點(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn)，則圓C的半徑r的取值范圍是________．

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【題目】已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率，以橢圓的長(zhǎng)軸和短軸為對(duì)角線的四邊形的周長(zhǎng)為.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，是否存在直線 ，使得到直線的距離滿足恒成立，若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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