Question

如圖，ABCD是邊長為2的正方形，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，DE=2AF，BE與平面ABCD所成角為45°．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDF；
（Ⅱ）求證：AC∥平面BEF；
（Ⅲ）求幾何體EFABCD的體積．

Answer 1

解：（I）∵DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DE⊥AC．
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵BD、DE是平面BDE內(nèi)的相交直線，
∴AC⊥平面BDE．
（II）延長DA，EF相交于點(diǎn)M，連接BM，
∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，∴AF∥DE，
∵△MDE中，DE=2AF，∴AM=AD=2，
∵AD∥BC且AD=BC，
∴AM∥BC且AM=BC，可得四邊形AMBC為平行四邊形，
∴AC∥MB，
又∵M(jìn)B?平面BEF，AC?平面BEF，
∴AC∥平面BEF．
（III）由（II）可知：幾何體EFABCD的體積等于V_{四棱錐E-MBCD}-V_{三棱錐F-MAB}．
∵DM=DA+AM=4，BC=2，CD=2，四邊形MBCD為直角梯形，
∴S_MBCD=（4+2）2=6，S△ABM=×2×2=2
又∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，DE=2AF，AF=，DE=，
∴幾何體EFABCD的體積為V=
分析：（I）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，得DE⊥AC．結(jié)合正方形對角線AC⊥BD，利用線面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE．
（II）延長DA，EF相交于點(diǎn)M，連接BM，根據(jù)三角形中的比例線段結(jié)合題中數(shù)據(jù)，可證出四邊形AMBC為平行四邊形，從而AC∥MB，再根據(jù)線面平行的判定可得AC∥平面BEF．
（III）由（II）可知：幾何體EFABCD的體積等于V_{四棱錐E-MBCD}-V_{四棱錐F-MAB}．分別求出直角梯形CDMB的面積和三角形ABM的面積，結(jié)合錐體體積公式，求出V_{四棱錐E-MBCD}和V_{三棱錐F-MAB}，再相減即可得到幾何體EFABCD的體積．
點(diǎn)評：本題在特殊的四棱錐中求證線面垂直和線面平行，并且求幾何體的體積，著重考查了線面平行、垂直的判定和組合幾何體體積的求法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．