Question

如圖，ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE與平面ABCD所成角為60°．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角F-BE-D的余弦值；
（Ⅲ）設點M是線段BD上一個動點，試確定點M的位置，使得AM∥平面BEF，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（I）由已知中DE⊥平面ABCD，ABCD是邊長為3的正方形，我們可得DE⊥AC，AC⊥BD，結合線面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）以D為坐標原點，DA，DC，DE方向為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標系，分別求出平面BEF和平面BDE的法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角F-BE-D的余弦值；
（Ⅲ）由已知中M是線段BD上一個動點，設M（t，t，0）．根據(jù)AM∥平面BEF，則直線AM的方向向量與平面BEF法向量垂直，數(shù)量積為0，構造關于t的方程，解方程，即可確定M點的位置．

解答：證明：（Ⅰ）因為DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．
因為ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
從而AC⊥平面BDE．…（4分）
解：（Ⅱ）因為DA，DC，DE兩兩垂直，所以建立空間直角坐標系D-xyz如圖所示．
因為BE與平面ABCD所成角為60⁰，即∠DBE=60°，
所以

ED

DB

=

3

．
由AD=3，可知DE=3

6

，AF=

6

．
則A（3，0，0），F(3，0，

6

)，E(0，0，3

6

)，B（3，3，0），C（0，3，0），
所以

BF

=(0，-3，

6

)，

EF

=(3，0，-2

6

)．
設平面BEF的法向量為n=（x，y，z），則

n• BF =0 n• EF =0

，即

-3y+ 6 z=0 3x-2 6 z=0

．
令z=

6

，則n=(4，2， 

6

)．
因為AC⊥平面BDE，所以

CA

為平面BDE的法向量，

CA

=(3，-3，0)．
所以cos?n，

CA

＞=

n• CA

|n|| CA |

=

6

3 2 × 26

=

13

13

．
因為二面角為銳角，所以二面角F-BE-D的余弦值為

13

13

．…（8分）
（Ⅲ）點M是線段BD上一個動點，設M（t，t，0）．
則

AM

=(t-3，t，0)．
因為AM∥平面BEF，
所以

AM

•n=0，即4（t-3）+2t=0，解得t=2．
此時，點M坐標為（2，2，0），
即當BM=

1

3

BD時，AM∥平面BEF．…（12分）

點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，空間中直線與平面垂直的判定，向量法確定直線與平面的位置關系，其中（I）的關鍵是證得DE⊥AC，AC⊥BD，熟練掌握線面垂直的判定定理，（II）的關鍵是建立空間坐標系，求出兩個半平面的法向量，將二面角問題轉化為向量夾角問題，（III）的關鍵是根據(jù)AM∥平面BEF，則直線AM的方向向量與平面BEF法向量垂直，數(shù)量積為0，構造關于t的方程．