Question

如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形紙片，沿某動(dòng)直線l為折痕將正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后點(diǎn)B都落在邊AD上，記為B'；折痕與AB交于點(diǎn)E，以EB和EB’為鄰邊作平行四邊形EB’MB．若以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如下圖）：
（Ⅰ）．求點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）．若曲線S是由點(diǎn)M的軌跡及其關(guān)于邊AB對(duì)稱的曲線組成的，等腰梯形A₁B₁C₁D₁的三邊A₁B₁，B₁C₁，C₁D₁分別與曲線S切于點(diǎn)P，Q，R．求梯形A₁B₁C₁D₁面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出M的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)兩點(diǎn)連線與對(duì)稱軸垂直，且兩點(diǎn)的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量等于兩鄰邊對(duì)應(yīng)向量的和得到點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）利用函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為曲線的切線斜率，求出腰A₁B₁的方程，分別令y=0和y=1求出與兩底的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用梯形的面積公式表示出梯形A₁B₁C₁D₁面積，利用基本不等式求出其最小值．

解答：解：（1）如圖，設(shè)M（x，y），B′（x₀，2），又E（0，b）
顯然直線l的斜率存在，故不妨設(shè)直線l的方程為y=kx+b，，則kBB/=

2

x0

=-

1

k

⇒k=-

x0

2

而B(niǎo)B′的中點(diǎn)(

x0

2

，1)在直線l上，
故(-

x0

2

)•

x0

2

+b=1⇒b=1+

x 2 0

4

，①
由于

EM

=

EB

+

EB′

⇒(x，y-b)=(0，-b)+(x0，2-b)⇒

x=x0 y=2-b

代入①即得y=-

x2

4

+1，又0≤x₀≤2點(diǎn)M的軌跡方程y=-

x2

4

+1（0≤x≤2）-------------（6分）
（2）易知曲線S的方程為y=-

x2

4

+1（-2≤x≤2）
設(shè)梯形A₁B₁C₁D₁的面積為s，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t，-

1

4

t2+1)(0＜t≤2)．
由題意得，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，1），直線B₁C₁的方程為y=1．
對(duì)于y=-

x2

4

+1有y′=-

x

2

∴y′|x=t=-

t

2

∴直線A₁B₁的方程為y-(-

1

4

t2+1)=-

t

2

(x-t)，
即：y=-

t

2

x+

1

4

t2+1令y=0得，x=

t2+4

2t

，
∴A1(

t2+4

2t

，0)．
令y=1得，x=

1

2

t，
∴B1(

1

2

t，1)
所以s=

1

2

×(

1

2

t+

t2+4

2t

)×1×2=t+

2

t

≥2

2

當(dāng)且僅當(dāng)t=

2

t

，即t=

2

時(shí)，取“=”且

2

∈(0，2]，t=

2

時(shí)，
s有最小值為2

2

．梯形A₁B₁C₁D₁的面積的最小值為2

2

----------（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩點(diǎn)關(guān)于一條直線對(duì)稱的充要條件；向量運(yùn)算的幾何意義；曲線在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為曲線的切線斜率；利用基本不等式求函數(shù)的最值．屬于一道難題．