【題目】已知為坐標原點,為橢圓的上焦點,上一點軸上方,且.

(1)求直線的方程;

(2)為直線異于的交點,的弦的中點分別為,若在同一直線上,求面積的最大值.

【答案】(1) 的方程為.(2)3

【解析】

(1) ,可得,,求出A點坐標,即可得到直線的方程;

(2)利用點差法可得,又因為在同一直線上,所以,所以,設出直線,與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達定理即可表示面積,結(jié)合均值不等式即可得到結(jié)果.

解法一:(1)設 ,因為,所以

又因為點在橢圓上,所以

由①②解得:,所以的坐標為

又因為的坐標為,所以直線的方程為.

(2)當在第一象限時,直線

,則,

兩式相減得:

因為不過原點,所以,即

同理:

又因為在同一直線上,所以,所以

設直線

得:,由,得

由韋達定理得:,,

所以,

又因為到直線的距離,

所以

當且僅當,即時等號成立,

所以的面積的最大值為3,

在第二象限時,由對稱性知,面積的最大值也為3,

綜上,面積的最大值為3.

解法二:(1)同解法一;

(2)當點在第一象限時,直線

,得:,則中點的坐標為

所以直線

①當直線斜率不存在或斜率為零時,不共線,不符合題意;

②當直線斜率存在時,設,

得:,由,得

由韋達定理,,

所以

因為在同一直線上,所以,解得

所以,,,

所以

又因為到直線的距離為

所以

,即時,面積的最大值為3,

所以面積的最大值為3,

在第二象限時,由對稱性知,面積的最大值也為3,

綜上,面積的最大值為3.

練習冊系列答案
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組別

頻數(shù)

(Ⅰ)求所得樣本的中位數(shù)(精確到百元);

(Ⅱ)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),可近似地認為學生的旅游費用支出服從正態(tài)分布,若該所大學共有學生人,試估計有多少位同學旅游費用支出在元以上;

(Ⅲ)已知樣本數(shù)據(jù)中旅游費用支出在范圍內(nèi)的名學生中有名女生, 名男生,現(xiàn)想選其中名學生回訪,記選出的男生人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學期望.

附:若,則,

, .

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每周累積戶外暴露時間(單位:小時)

不少于28小時

近視人數(shù)

21

39

37

2

1

不近視人數(shù)

3

37

52

5

3

(1)在每周累計戶外暴露時間不少于28小時的4名學生中,隨機抽取2名,求其中恰有一名學生不近視的概率;

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近視

不近視

足夠的戶外暴露時間

不足夠的戶外暴露時間

附:

P

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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