Question

如圖，有兩條相交成60°角的直路XX′，YY′，交點(diǎn)為O，甲、乙分別在OX，OY上，起初甲離O點(diǎn)3km，乙離O點(diǎn)1km，后來甲沿XX′的方向，乙沿Y′Y的方向，同時(shí)以4km/h的速度步行．
（1）起初兩人的距離是多少？
（2）t小時(shí)后兩人的距離是多少？
（3）什么時(shí)候兩人的距離最短，并求出最短距離．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：應(yīng)用題,解三角形

分析：（1）在△ABC中，由已知及余弦定理即可求AB的值；
（2）設(shè)t小時(shí)后，甲由A運(yùn)動(dòng)到C，乙由B運(yùn)動(dòng)到D，連接CD，分情況討論：當(dāng)0＜t≤0.75或t＞0.75時(shí)，由余弦定理即可分別求CD的值；
（3）由CD=

48t2-24t+7

=

48(t- 1 t )2+4

（t≥0）即可求得t=

1

4

時(shí)兩人的距離最短，最短距離為2km．

解答： 解：設(shè)甲乙兩人起初所在的位置分別為A，B，連接AB．
（1）在△ABC中，由余弦定理可得：AB=

1+9-2×1+3+cos60°

=

7

（km）…3分
（2）設(shè)t小時(shí)后，甲由A運(yùn)動(dòng)到C，乙由B運(yùn)動(dòng)到D，連接CD，
當(dāng)0＜t≤0.75時(shí)，CD=

(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60°

=

48t2-24t+7

…7分
當(dāng)t＞0.75時(shí)，在△OCD中，OD=1+4t，OC=4t-3，∠DOC=120°，
CD=

(4t-3)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)cos120°

=

48t2-24t+7

…11分
∴t小時(shí)后，甲乙兩人的距離為

48t2-24t+7

km…12分
（3）∵CD=

48t2-24t+7

=

48(t- 1 t )2+4

（t≥0）
∴t=

1

4

時(shí)兩人的距離最短，最短距離為2km…16分

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，正確分析實(shí)際問題中的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．