Question

已知cosα=

1

3

，cos（α+β）=-

1

3

，且α、β∈（0，

π

2

），則cos（α-β）=（　�。�

• A、-

  10 2

  27

• B、-

  2 2

  3

• C、

  23

  27

• D、-

  9

  27

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值

分析：根據(jù)α的范圍，求出2α的范圍，由cosα的值，利用二倍角的余弦函數(shù)公式求出cos2α的值，然后再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sin2α的值，又根據(jù)α和β的范圍，求出α+β的范圍，由cos（α+β）的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sin（α+β）的值，然后據(jù)α-β=2α-（α+β），由兩角差的余弦函數(shù)公式把所求的式子化簡(jiǎn)后，將各自的值代入即可求解．

解答： 解：由2α∈（0，π），及cosα=

1

3

，得到cos2α=2cos²α-1=-

7

9

，且sin2α=

1-(- 7 9 )2

=

4 2

9

，
由α+β∈（0，π），及cos（α+β）=-

1

3

，得到sin（α+β）=

1-(- 1 3 )2

=

2 2

3

，
則cos（α-β）=cos[2α-（α+β）]
=cos2αcos（α+β）+sin2αsin（α+β）
=-

7

9

×（-

1

3

）+

4 2

9

×

2 2

3

=

23

27

．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是角度的靈活變換即α-β=2α-（α+β），屬于中檔題．