Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₂=1，前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=

n(an-a1)

2

（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求

lim

n→∞

Sn

n2

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,極限及其運(yùn)算

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=

a1-a1

2

，可得a₁=0.Sn=

n

2

an．當(dāng)n≥3時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，化為

an

an-1

=

n-1

n-2

，利用“累乘求積”即可得出．
（2）利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得S_n，再利用數(shù)列的運(yùn)算法則即可得出．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=

a1-a1

2

，可得a₁=0．
∴Sn=

n

2

an．
當(dāng)n≥3時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

nan

2

-

(n-1)an-1

2

，
化為

an

an-1

=

n-1

n-2

，
∴a_n=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a4

a3

•

a3

a2

•a2
=

n-1

n-2

•

n-2

n-3

•…•

2

1

•1
=n-1．
當(dāng)n=1，2時(shí)也成立，
∴a_n=n-1（n∈N^*）．
（2）由（1）可得：S_n=

n(n-1+0)

2

=

n(n-1)

2

．
∴

lim

n→∞

Sn

n2

=

lim

n→∞

n-1

2n

=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了“累乘求積”方法、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的運(yùn)算法則，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．