Question

如圖，已知橢圓，直線的方程為，過右焦點的直線與橢圓交于異于左頂點的兩點，直線，交直線分別于點，．

（1）當(dāng)時，求此時直線的方程；

（2）試問，兩點的縱坐標(biāo)之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

 

 

Answer 1

（1）；（2），兩點的縱坐標(biāo)之積為定值.

【解析】

試題分析：（1）討論①當(dāng)直線的斜率不存在時，確定得到，又

不滿足；

②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)方程為

代入橢圓得；

應(yīng)用韋達定理研究，解得 求得直線的方程；

（2）的方程為與的方程：聯(lián)立

確定 同理得，

從而.

討論不存在、存在的兩種情況，得出結(jié)論.

（1）①當(dāng)直線的斜率不存在時，由可知方程為

代入橢圓得又

不滿足 2分

②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)方程為

代入橢圓得 3分

設(shè)得 4分

故直線的方程； 6分

（2）的方程為與的方程：聯(lián)立

得： 同理得 8分

①不存在時， 9分

②存在時， 12分

，兩點的縱坐標(biāo)之積為定值 13分

考點：橢圓的幾何性質(zhì)，直線方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，分類討論思想.