Question

如圖，在矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，P是AB邊上的點(diǎn)，AB=3，AD=2
（1）設(shè)AP=x，△DPE的周長為y，求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）當(dāng)∠DPE取得最大值時(shí)，求AP的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的值

專題：數(shù)形結(jié)合,函數(shù)思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)題意列出y=

x2+1

+

x2+4

+1，0≤x≤3，（2）轉(zhuǎn)化為）tan∠DPE═

1

x+ 2 x

，0＜x≤3，利用函數(shù)單調(diào)性，也可以利用基本不等式求解即可．

解答： 解：（1）∵在矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，P是AB邊上的點(diǎn)，AB=3，AD=2
∴AP=x，△DPE的周長為y，
y=

x2+1

+

x2+4

+1，0≤x≤3，

（2tan（∠APD-∠APE）=

tan∠APD-tan∠APE

1+tan∠APD•tan∠APE

=

2 x - 1 x

1+ 2 x • 1 x

=

1

x+ 2 x

，0＜x≤3
∵m（x）=x+

2

x

在（0，

2

）單調(diào)遞減，（

2

，3）單調(diào)遞增
∴m（x）_min=m（

2

）=2

2

，
∴

1

x+ 2 x

的最大值為

1

2 2

=

2

4

．
此時(shí)x=

2

，
∵當(dāng)∠DPE取得最大值時(shí)，tan∠DPE取得最大值．
∴當(dāng)∠DPE取得最大值時(shí)，AP的值為

2

．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)思想在求解幾何圖形中的應(yīng)用，運(yùn)用基本不等式求解或單調(diào)性求解，屬于應(yīng)用題目，但是難度不大．