如果一個數(shù)列的各項(xiàng)都是實(shí)數(shù),且從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的平方差是同一個常數(shù),則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列,這個常數(shù)叫這個數(shù)列的公方差.
(Ⅰ)若數(shù)列{an}既是等方差數(shù)列,又是等差數(shù)列,求證:該數(shù)列是常數(shù)列;
(Ⅱ)已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公方差為2的等方差數(shù)列,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足.若不等式對?n∈N*恒成立,求m的取值范圍.
【答案】分析:(Ⅰ)依題,通過分解因式,利用{an}為等差數(shù)列,設(shè)公差為d,求出d=0,說明{an}是常數(shù)列.
(Ⅱ)通過為首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列,求出,由得bn,利用錯位相減法求出Sn,通過不等式,推出恒成立,由歸納法原理推出n≥4時,3k+1<2k,求出m的取值范圍為m≤3.
解答:解:(Ⅰ)依題
⇒(an+1-an)(an+1+an)=(an-an-1)(an+an-1
又{an}為等差數(shù)列,設(shè)公差為d,

故{an}是常數(shù)列.(4分)
(Ⅱ)由{an}是首項(xiàng)為2,公方差為2的等方差數(shù)列.
為首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列,(6分)
         ①
  ②
(10分)
不等式即3•2n-(n+3)>m•2n-4n-4也即(m-3)•2n<3n+1,即恒成立
由于n=1,2,3時,3n+1>2n;n=4時,3n+1<2n
假設(shè)n=k(k≥4)時,3k+1<2k
那么2k+1=2•2k>2(3k+1)=3(k+1)+1+(3k-2)>3(k+1)+1,
由歸納法原理知:n≥4時,3k+1<2k,
所以⇒m-3≤0,
故m的取值范圍為m≤3(14分)
點(diǎn)評:本題考查新定義的應(yīng)用,數(shù)列特征的判斷,數(shù)列求和的錯位相減法的應(yīng)用,轉(zhuǎn)化思想,計(jì)算能力.
練習(xí)冊系列答案
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如果一個數(shù)列的各項(xiàng)都是實(shí)數(shù),且從第二項(xiàng)開始,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的平方差是相同的常數(shù),則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列,這個常數(shù)叫這個數(shù)列的公方差.
(1)設(shè)數(shù)列{an}是公方差為p的等方差數(shù)列,求an和an-1(n≥2,n∈N)的關(guān)系式;
(2)若數(shù)列{an}既是等方差數(shù)列,又是等差數(shù)列,證明該數(shù)列為常數(shù)列;
(3)設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公方差為2的等方差數(shù)列,若將a1,a2,a3,…,a10這種順序的排列作為某種密碼,求這種密碼的個數(shù).

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(2012•安徽模擬)如果一個數(shù)列的各項(xiàng)都是實(shí)數(shù),且從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的平方差是同一個常數(shù),則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列,這個常數(shù)叫這個數(shù)列的公方差.
(Ⅰ)若數(shù)列{an}既是等方差數(shù)列,又是等差數(shù)列,求證:該數(shù)列是常數(shù)列;
(Ⅱ)已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公方差為2的等方差數(shù)列,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足an2=2n+1bn.若不等式2nSn>m•2n-2an2對?n∈N*恒成立,求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如果一個數(shù)列的各項(xiàng)都是實(shí)數(shù),且從第二項(xiàng)開始,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的平方差是相同的常數(shù),則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列,這個常數(shù)叫做這個數(shù)列的公方差.設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公方差為2的等方差數(shù)列,若將a1,a2,a3,…,a10這種順序的排列作為某種密碼,則這種密碼的個數(shù)為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如果一個數(shù)列的各項(xiàng)都是實(shí)數(shù),且從第二項(xiàng)開始,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的平方差是相同的常數(shù),則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列,這個常數(shù)叫這個數(shù)列的公方差.

(1)設(shè)數(shù)列{an}是公方差為p的等方差數(shù)列,求an和an-1(n≥2,n∈N)的關(guān)系式;

(2)若數(shù)列{an}既是等方差數(shù)列,又是等差數(shù)列,證明該數(shù)列為常數(shù)列.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年遼寧名校領(lǐng)航高考預(yù)測試(六)數(shù)學(xué)卷 題型:選擇題

如果一個數(shù)列的各項(xiàng)都是實(shí)數(shù),且從第二項(xiàng)開始,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的平方差是相同的常數(shù),則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列,這個常數(shù)叫做這個數(shù)列的公方差.設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為2,公方差為2的等方差數(shù)列,若將這種順序的排列作為某種密碼,則這種密碼的個數(shù)為

A.  18個                B.  256個           C.  512個           D.  1024個

 

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