【題目】某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史,下圖(1)(2)(3)、(4)為她們刺繡最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案,這些圖案都由小正方形構(gòu)成,小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮,現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同),設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)小正方形.

(1) 求出,,并猜測(cè)的表達(dá)式;

(2) 求證:+…+.

【答案】(1) f(2)5,f(3)13,f(4)25,f(5)254×441.f(n)2n22n1.

(2)

【解析】

本試題主要是考查了數(shù)列的歸納猜想思想的運(yùn)用,根據(jù)前幾項(xiàng)。來(lái)猜想并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。

1)結(jié)合題目中的 遞推關(guān)系式可知前幾項(xiàng)的值,并猜想結(jié)論。

2)分為兩步驟進(jìn)行,先證明n取第一個(gè)值時(shí)成立,再假設(shè)n=k時(shí)成立,證明n=k+1時(shí)也成立即可。

解: (1)∵f(1)1,f(2)5,f(3)13,f(4)25,f(5)254×441.

f(2)f(1)44×1f(3)f(2)84×2,f(4)f(3)124×3,f(5)f(4)164×4

由上式規(guī)律得出f(n1)f(n)4n. ∴f(n)f(n1)4(n1),f(n1)f(n2)4·(n2),

f(n2)f(n3)4·(n3),

f(2)f(1)4×1,

f(n)f(1)4[(n1)(n2)21]2(n1)·n,f(n)2n22n1(n≥2),

n1時(shí),f(1)也適合f(n)

f(n)2n22n1. --------6

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練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】設(shè)集合A,BR中兩個(gè)子集,對(duì)于,定義: .①若;則對(duì)任意;②若對(duì)任意,則;③若對(duì)任意,則A,B的關(guān)系為.上述命題正確的序號(hào)是______. (請(qǐng)?zhí)顚?xiě)所有正確命題的序號(hào))

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(1)當(dāng)時(shí),求曲線的普通方程與直線的參數(shù)方程;

(2)求點(diǎn)兩點(diǎn)的距離之積的最小值.

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(1)求直方圖中的值;

(2)設(shè)該市有60萬(wàn)居民,估計(jì)全市居民中月均用水量不低于2.5噸的人數(shù),并說(shuō)明理由;

(3)若該市政府希望使的居民每月的用水不按議價(jià)收費(fèi),估計(jì)的值,并說(shuō)明理由.

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【題目】某化工企業(yè)2018年年底投入100萬(wàn)元,購(gòu)入一套污水處理設(shè)備。該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬(wàn)元,此外,每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi),第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬(wàn)元,由于設(shè)備老化,以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2萬(wàn)元。設(shè)該企業(yè)使用該設(shè)備年的年平均污水處理費(fèi)用為(單位:萬(wàn)元)

(1)用表示;

(2)當(dāng)該企業(yè)的年平均污水處理費(fèi)用最低時(shí),企業(yè)需重新更換新的污水處理設(shè)備。則該企業(yè)幾年后需要重新更換新的污水處理設(shè)備。

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③若sin=sin,則x1-x2=,其中kZ;

④函數(shù)x[0,2π]的圖象與直線y=k有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則k的取值范圍為(1,3).

其中正確的有____(填寫(xiě)所有正確命題的序號(hào)).

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