Question

已知數列{a_n}的通項公式為an=

n

n+a

(n，a∈N*)．
（1）若a₁，a₃，a₁₅成等比數列，求a的值；
（2）是否存在k（k≥3且k∈N），使得a₁，a₂，a_k成等差數列，若存在，求出常數a的值；若不存在，請說明理由；
（3）求證：數列中的任意一項a_n總可以表示成數列中其它兩項之積．

Answer 1

分析：（1）由a₁，a₃，a₁₅成等比數列可得代入通項公式可求a的值
（2）假設存在k（k≥3且k∈N），使得a₁，a₂，a_k成等差數列，則有a₁+a_k=2a₂，代入通項公式進行計算
（3）由于an=

n

n+a

=

2n

2n+2a

=

2n

2n+a

•

2n+a

2n+2a

，故可求

解答：解：（1）因為a₁，a₃，a₁₅成等比數列，所以a₃²=a₁a₁₅，即(

3

3+a

)2=

1

1+a

•

15

15+a

由a∈N₊可得a=9（5分）
（2）若存在k（k≥3且k∈N），，使得a₁，a₂，a_k成等差數列，則有a₁+a_k=2a₂，
即

1

1+a

+

k

k+a

=

4

2+a

，得k=3+

2

a

，k（k≥3且k∈N）
∴a=1或a=2（8分）
故存在k=5或k=4，使得a₁，a₂，a_k成等差數列
且k=5時，a=1，k=4時，a=2．（11分）
（3）∴an=

n

n+a

=

n

n+a

=

2n+a

2n+2a

•

2n

2n+a

=a2n+a•a2n（13分）
a_2n+a與a_2n是數列{a_n}的不同于a_n的兩項，
所以數列中的任意一項a_n總可以表示成數列中其它兩項之積．（16分）

點評：本題主要考查了等差數列與等比數列的綜合運算，數列通項公式的應用，考查了考生的邏輯推理與運算的能力．