Question

【題目】（某工廠生產(chǎn)零件A，工人甲生產(chǎn)一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分別為，工人乙生產(chǎn)一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分別為．己知生產(chǎn)一件一等品、二等品、三等品零件A給工廠帶來的效益分別為10元、5元、2元.

（1）試根據(jù)生產(chǎn)一件零件A給工廠帶來的效益的期望值判斷甲乙技術(shù)的好壞；

（2）為鼓勵(lì)工人提高技術(shù)，工廠進(jìn)行技術(shù)大賽，最后甲乙兩人進(jìn)入了決賽．決賽規(guī)則是：每一輪比賽，甲乙各生產(chǎn)一件零件A，如果一方生產(chǎn)的零件A品級(jí)優(yōu)干另一方生產(chǎn)的零件，則該方得分1分，另一方得分-1分，如果兩人生產(chǎn)的零件A品級(jí)一樣，則兩方都不得分，當(dāng)一方總分為4分時(shí)，比賽結(jié)束，該方獲勝．Pi+4（i=4，3，2，…，4）表示甲總分為i時(shí)，最終甲獲勝的概率．

①寫出P0，P8的值；

②求決賽甲獲勝的概率．

Answer 1

【答案】（1）乙的技術(shù)更好，見解析（2）①，；②

【解析】

（1）列出分布列，求出期望，比較大小即可；

（2）①直接根據(jù)概率的意義可得P0，P8；②設(shè)每輪比賽甲得分為，求出每輪比賽甲得1分的概率，甲得0分的概率，甲得分的概率，可的，可推出是等差數(shù)列，根據(jù)可得答案.

（1）記甲乙各生產(chǎn)一件零件給工廠帶來的效益分別為元、元，

隨機(jī)變量，的分布列分別為

	10	5	2
	10	5	2

所以，，

所以，即乙的技術(shù)更好

（2）①表示的是甲得分時(shí)，甲最終獲勝的概率，所以，

表示的是甲得4分時(shí)，甲最終獲勝的概率，所以；

②設(shè)每輪比賽甲得分為，則

每輪比賽甲得1分的概率，

甲得0分的概率，

甲得分的概率，

所以甲得時(shí)，最終獲勝有以下三種情況：

（1）下一輪得1分并最終獲勝，概率為；

（2）下一輪得0分并最終獲勝，概率為；

（3）下一輪得分并最終獲勝，概率為；

所以，

所以是等差數(shù)列，

則，

即決賽甲獲勝的概率是.