Question

（本小題10分）. 如圖，設(shè)橢圓 （a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），A為橢圓的上頂點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最短距離為-1．過(guò)F作橢圓的弦PQ，直線(xiàn)AP，AQ分別交直線(xiàn)于點(diǎn)M，N．

（Ⅰ） 求橢圓的方程；

（Ⅱ） 求當(dāng)三角形AMN面積最小時(shí)直線(xiàn)PQ的方程．

Answer 1

（1）．（2）

【解析】

試題分析:首先利用題目所給的和求出得到橢圓方程，第二步先設(shè)出過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)的方程，與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去后得到關(guān)于的元二次方程，設(shè)，，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得出，再利用兩點(diǎn)式寫(xiě)出直線(xiàn)的方程與直線(xiàn)聯(lián)立，求出，求出的表達(dá)式，最后借助換元法求最小值，由于點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為定值，三角形AMN面積最小只需最小，最后再求出直線(xiàn)PQ的方程．

試題解析：（Ⅰ） 由題意知，，所以橢圓方程為 ．

（Ⅱ） 設(shè)，，直線(xiàn)，由,消去，得

，所以

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 ,．

因?yàn)橹本�(xiàn)AP的方程為，由．

同理可得

所以

記，則，

當(dāng)＝－，即時(shí)，取最小值．

所以，當(dāng)取最小值時(shí)的方程為，

考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，2.設(shè)而不求，聯(lián)立方程組解題；3.弦長(zhǎng)公式；4.求最值；