Question

已知數(shù)列滿足：，且
（1）求通項(xiàng)公式
（2）設(shè)的前n項(xiàng)和為S n，問：是否存在正整數(shù)m、n，使得
若存在，請求出所有的符合條件的正整數(shù)對（m,n），若不存在，請說明理由．

Answer 1

 （1）；（2）見解析.

第一問利用數(shù)列的遞推關(guān)系，我們可以得到當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，,然后利用遞推關(guān)系，求解得到數(shù)列的通項(xiàng)公式即可
第二問中，利用前n項(xiàng)和的遞推關(guān)系，我們借助于，
若存在正整數(shù)m、n，使得，
得到，借助于m的范圍，對其令值，然后解。
解：（1）當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，．
所以，當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，．……………2分
又，，所以，是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列；
…是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列．       …………4分
所以，．         ………………………………6分
（2）由（1），得

，
．       ……………8分
所以，若存在正整數(shù)m、n，使得，則
．……9分
顯然，當(dāng)m=1時(shí)，；
當(dāng)m=2時(shí)，由，整理得．
顯然，當(dāng)n=1時(shí)，不成立；
當(dāng)n=2時(shí)，成立，
所以(2,2)是符合條件的一個(gè)解．                 ……………11分
當(dāng)時(shí)，
……………12分
當(dāng)m=3時(shí)，由，整理得n=1，
所以(3,1)是符合條件的另一個(gè)解．
綜上所述，所有的符合條件的正整數(shù)對(m,n)，有且僅有(3,1)和(2,2)兩對． 14分
（注：如果僅寫出符合條件的正整數(shù)對(3,1)和(2,2)，而沒有敘述理由，每得到一組正確的解，給2分，共4分）