Question

為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊(duì)在某冰川上相距8km的A，B兩點(diǎn)各建一個(gè)考察基地，視冰川面為平面形，以過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖)．在直線x=2的右側(cè)，考察范圍為到點(diǎn)B的距離不超過(guò)km的區(qū)域；在直線x=2的左側(cè)，考察范圍為到A，B兩點(diǎn)的距離之和不超過(guò)4km的區(qū)域，

(Ⅰ)求考察區(qū)域邊界曲線的方程；
(Ⅱ)如圖所示，設(shè)線段P₁P₂，P₂P₃是冰川的部分邊界線(不考慮其他邊界)，當(dāng)冰川融化時(shí)，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動(dòng)，第一年移動(dòng)0.2km，以后每年移動(dòng)的距離為前一年的2倍．求冰川邊界線移動(dòng)到考察區(qū)域所需的最短時(shí)間．

Answer 1

解：(Ⅰ)設(shè)邊界曲線上點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，
當(dāng)x≥2時(shí)，由題意知，，
當(dāng)x＜2時(shí)，由|PA|+|PB|=4知，點(diǎn)P在以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=4的橢圓上，
此時(shí)短半軸長(zhǎng)=2，
因而其方程為，
故考察區(qū)域邊界曲線（如圖）的方程為C₁：和C₂：。

(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)P₁，P₂的直線為l₁，過(guò)點(diǎn)P₂，P₃的直線為l₂，
則直線l₁，l₂的方程分別為，
設(shè)直線l平行于直線l₁，其方程為，
代入橢圓方程，消去y，得，
由△=100×3m²-4×16×5(m²-4)=0，解得m=8或m=-8，
從圖中可以看出，當(dāng)m=8時(shí)，直線l與C₂的公共點(diǎn)到直線l₁的距離最近，此時(shí)直線l的方程為y=x+8，
l與l₁之間的距離為，
又直線l₂到C₁和C₂的最短距離，
而d′＞3，所以考察區(qū)域邊界到冰川邊界線的最短距離為3．
設(shè)冰川邊界線移動(dòng)到考察區(qū)域所需的時(shí)間為n年，
則由題設(shè)及等比數(shù)列求和公式，得，所以n≥4．