為了考察冰川的融化狀況,一支科考隊在某冰川上相距8km的A,B兩點各建一個考察基地.視冰川面為平面形,以過A,B兩點的直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系(圖).在直線x=2的右側(cè),考察范圍為到點B的距離不超過
6
5
5
km的區(qū)域;在直線x=2的左側(cè),考察范圍為到A,B兩點的距離之和不超過4
5
km的區(qū)域.
(Ⅰ)求考察區(qū)域邊界曲線的方程;
(Ⅱ)如圖所示,設(shè)線段P1P2,P2P3是冰川的部分邊界線(不考慮其他邊界),當冰川融化時,邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動,第一年移動0.2km,以后每年移動的距離為前一年的2倍,求冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的最短時間.
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分析:(Ⅰ)設(shè)邊界曲線上點P的坐標為(x,y),當x≥2時,(x-4)2+y2=
36
5
.當x<2時,
x2
20
+
y2
4
=1
.由此能得到考查區(qū)域邊界曲線的方程;
(Ⅱ)設(shè)過點P1,P2的直線為l1,過點P2,P3的直線為l2,則直線l1,l2的方程分別為y=
3
x+14,y=6

設(shè)直線l平行于直線l1,其方程為y=
3
x+m
,代入橢圓方程
x2
20
+
y2
4
=1
,消去y,得16x2+10
3
mx+5(m2-4) =0
,然后由根的判別式和點到直線的距離公式結(jié)合題設(shè)條件進行求解.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)邊界曲線上點P的坐標為(x,y),
當x≥2時,由題意知(x-4)2+y2=
36
5

當x<2時,由|PA|+|PB|=4
5
知,點P在以A,B為焦點,長軸長為2a=4
5
的橢圓上.此時短半軸長b=
(2
5
)
2
-42
=2
.因而其方程為
x2
20
+
y2
4
=1

故考察區(qū)域邊界曲線(如圖)的方程為C1:(x-4)2+y2=
36
5
(x≥2)
C2
x2
20
+
y2
4
=1(x<2)

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(Ⅱ)設(shè)過點P1,P2的直線為l1,過點P2,P3的直線為l2,則直線l1,l2的方程分別為y=
3
x+14,y=6

設(shè)直線l平行于直線l1,其方程為y=
3
x+m
,代入橢圓方程
x2
20
+
y2
4
=1
,消去y,得
16x2+10
3
mx+5(m2-4) =0
,
由△100×3m2-4×16×5(m2-4)=0,
解得m=8或m=-8.
從圖中可以看出,當m=8時,直線l與C2的公共點到直線l的距離最近,此時直線l的方程為y=
3
x+8
,l與l1之間的距離為d=
|14-8|
1+3
=3

又直線l2到C1和C2的最短距離d′=6-
6
5
5
,而d'>3,所以考察區(qū)域邊界到冰川邊界線的最短距離為3.
設(shè)冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的時間為n年,則由題設(shè)及等比數(shù)列求和公式,
0.2(2n-1)
2-1
≥3
,所以n≥4.
故冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的最短時間為4年.
點評:本題考查點的軌跡方程,解題時要認真審題,注意公式的靈活運用和數(shù)形結(jié)合的合理運用.
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(1)求考察區(qū)域邊界曲線的方程:
(2)如圖所示,設(shè)線段P1P2(3)是冰川的部分邊界線(不考慮其他邊界),當冰川融化時,邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動,第一年移動0.2km,以后每年移動的距離為前一年的2倍.問:經(jīng)過多長時間,點A恰好在冰川邊界線上?

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(Ⅱ)如圖所示,設(shè)線段P1P2,P2P3是冰川的部分邊界線(不考慮其他邊界),當冰川融化時,邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動,第一年移動0.2km,以后每年移動的距離為前一年的2倍.求冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的最短時間.

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(2)如圖所示,設(shè)線段P1P2(3)是冰川的部分邊界線(不考慮其他邊界),當冰川融化時,邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動,第一年移動0.2km,以后每年移動的距離為前一年的2倍.問:經(jīng)過多長時間,點A恰好在冰川邊界線上?

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