Question

過(guò)橢圓

x2

2

+y2=1的左焦點(diǎn)F作斜率為k（k≠0）的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，使得AB的中點(diǎn)M在直線x+2y=0上．
（1）求k的值；
（2）設(shè)C（-2，0），求tan∠ACB．

Answer 1

分析：（1）由橢圓方程，a，b，c．直線AB方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求得k值，從而解決問(wèn)題．
（2）將k=1代入（1）中得到關(guān)于x的一元二次方程，求出方程的兩個(gè)根，再根據(jù)夾角公式求出tan∠ACB．

解答：解：（1）由橢圓方程，a=

2

，b=1，c=1，則點(diǎn)F為（-1，0）．
直線AB方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，得
（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0．①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），則
x₀=

x1+x2

2

=-

2k2

2k2+1

，y₀=k（x₀+1）=

k

2k2+1

，
由點(diǎn)M在直線x+2y=0上，知-2k²+2k=0，
∵k≠0，
∴k=1．…（6分）
（2）將k=1代入①式，得3x²+4x=0，
不妨設(shè)x₁＞x₂，則x₁=0，x₂=-

4

3

，…（8分）
記α=∠ACF，β=∠BCF，則
tanα=

y1

x1+2

=

x1+1

x1+2

=

1

2

，tanβ=-

y2

x2+2

=-

x2+1

x2+2

=

1

2

，
∴α=β，
∴tan∠ACB=tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

4

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、夾角公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查方程思想．屬于基礎(chǔ)題．