Question

己知曲線與x袖交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P與A,B連線的斜率之積為-4

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的方程；

（2）過點(diǎn)B的直線與，分別交于點(diǎn)M ,Q（均異于點(diǎn)A，B），若以MQ為直徑的圓

經(jīng)過點(diǎn)A，求AMQ的面積．

 

Answer 1

（1） ；（2）

【解析】

試題分析：（1）由題意得，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由已知條件列方程得，且點(diǎn)P為x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，故，從而軌跡的方程為；(Il)直線和圓錐曲線的綜合問題要注意挖掘已知條件，善于利用韋達(dá)定理確定參數(shù)的值，本題可設(shè)直線的方程為，分別于的方程聯(lián)立，且必然是方程的一個(gè)根，利用韋達(dá)定理可表示得點(diǎn)M ,Q的坐標(biāo)，利用AM⊥AQ列方程求參數(shù)的值，從而求得M ,Q的坐標(biāo)，進(jìn)而求AMQ的面積．

試題解析：(1)不妨設(shè)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，則

設(shè)，則

整理得：

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡C2的方程為 5分

沒有y的范圍扣1分

(2)由(1)知，上半橢圓C2的方程為．

易知，直線l與x軸不重合也不垂直，設(shè)其方程為y＝k(x－1)(k≠0)，

代入C2的方程，整理得(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0．(*)

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(xP，yP)，

∵直線l過點(diǎn)B，∴x＝1是方程(*)的一個(gè)根．

由求根公式，得xM＝，從而yM＝，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為． 7分

同理，由

得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(－k－1，－k2－2k)．

由題意可知AM⊥AQ，且．

∴，即 [k－4(k＋2)]＝0，

∵k≠0，

∴k－4(k＋2)＝0，解得k＝－． 10分

∴

∴

所以的面積為． 12分

考點(diǎn)：1、軌跡方程；2、直線和圓錐曲線的位置關(guān)系．